Comparando áreas, mostre que

1/2 + 1/3 + ... + 1/n < ln(n) < 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/(n-1)

Passo 1

Fala meus queridos!

Nessa questão devemos demostrar que

1 2 + 1 3 + … + 1 n < ln ⁡ n < 1 + 1 2 + 1 3 + … + 1 n - 1

E para isso vamos usar a comparação de áreas.

Para resolver essa questão através da comparação de áreas vamos utilizar n retângulos que estão abaixo da nossa curva e vamos utilizar também n retângulos que estarão acima da nossa curva, onde nossa curva é y = 1 x .

Estamos escolhendo essa curva, pois a integral dela resulta no logaritmo natural l n . E como a integral nada mais é que a área abaixo da curva, tudo certo então!

Passo 2

Dessa forma, denotando os nossos retângulos que estão abaixo da curva por R n vamos ter

Á r e a   d e   R n = 1 1 + n

Como a função logaritmo é uma função crescente, temos que se pegarmos os retângulos abaixo da curva eles serão menores que a área real e se pegarmos os retângulos acima da curva estes serão maiores que a área real.

Como temos n - 1 retângulos de base 1 que estão abaixo da curva teremos

1 2 + 1 3 + 1 4 + … + 1 n < ln ⁡ n

Agora, tomando os n - 1 retângulos que estão acima da curva vamos ter

Á r e a   d e   R n = 1 n

Como temos n - 1 retângulos e todos estão acima da nossa curva teremos que

ln ⁡ n < 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + … + 1 n - 1

Portanto, juntando ambos os resultados temos que

1 2 + 1 3 + 1 4 + … + 1 n < ln ⁡ n < 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + … + 1 n - 1

Como queríamos demonstrar.

Resposta

Demostração nos Passos.

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