Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 5.6 - Ex. 3
Comparando áreas, mostre que
Passo 1
Fala meus queridos!
Nessa questão devemos demostrar que
E para isso vamos usar a comparação de áreas.
Para resolver essa questão através da comparação de áreas vamos utilizar retângulos que estão abaixo da nossa curva e vamos utilizar também retângulos que estarão acima da nossa curva, onde nossa curva é .
Estamos escolhendo essa curva, pois a integral dela resulta no logaritmo natural . E como a integral nada mais é que a área abaixo da curva, tudo certo então!
Passo 2
Dessa forma, denotando os nossos retângulos que estão abaixo da curva por vamos ter
Como a função logaritmo é uma função crescente, temos que se pegarmos os retângulos abaixo da curva eles serão menores que a área real e se pegarmos os retângulos acima da curva estes serão maiores que a área real.
Como temos retângulos de base 1 que estão abaixo da curva teremos
Agora, tomando os retângulos que estão acima da curva vamos ter
Como temos retângulos e todos estão acima da nossa curva teremos que
Portanto, juntando ambos os resultados temos que
Como queríamos demonstrar.
Resposta
Demostração nos Passos.