Enunciado

Identificar quais dos conjuntos seguintes são bolas abertas em R 2 ou R 3 , determinando, em caso positivo, o centro e o raio.

x 2 + 4 x + y 2 < 5

Passo 1

Vamos começar lembrando o que é essa tal “bola aberta”. É assim: sabe a circunferência? Aquela lá com essa equação:

x - x c 2 + y - y c 2 = r

Essa equação representa uma circunferência de centro no ponto x c ,   y c e raio r . Tá bom, mas o que é bola aberta? É tipo uma circunferência, mas em vez de a gente pegar a bordinha dela, a gente vai pegar tudo que tá na parte de dentro dela, sacou? Então a equação dela vai ser assim:

x - x c 2 + y - y c 2 < r

Ou então

x - x c 2 + y - y c 2 < r 2

Pegamos todos os pontos que têm uma distância até o centro da bola menor que o raio da circunferência, saca? E isso serve pro caso de termos coisas com z também, em que estaríamos tratando da parte interna de uma esfera, tipo assim:

x - x c 2 + y - y c 2 + z - z c 2 < r 2

Bom, então bora ver se a equação aqui serve nessa definição, seja pro R 2 ou pro R 3 .

Passo 2

A equação da circunferência da questão é:

x 2 + 4 x + y 2 < 5

Beleza, vamos tentar deixar no formato do passo 1 . Completando o quadrado pro x :

x 2 + 4 x + 4 + y 2 < 5 + 4

x + 2 2 + y 2 < 9

Assim,

( x + 2 ) 2 + y - 0 2 < 3 2

Dessa equação, a gente conclui que esse conjunto é sim uma bola aberta no R 2 , com centro no ponto ( - 2 ,   0 ) e raio igual a 3 .

Resposta

Bola aberta em R 2 : centro em ( - 2 ,   0 ) e raio 3 .

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