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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 3.7 - Ex. 1a

Identificar quais dos conjuntos seguintes são bolas abertas em R 2 ou R 3 , determinando, em caso positivo, o centro e o raio.

x 2 + y 2 - 2 y < 3

Passo 1

Vamos começar lembrando o que é essa tal “bola aberta”. É assim: sabe a circunferência? Aquela lá com essa equação:

x - x c 2 + y - y c 2 = r

Essa equação representa uma circunferência de centro no ponto x c ,   y c e raio r . Tá bom, mas o que é bola aberta? É tipo uma circunferência, mas em vez de a gente pegar a bordinha dela, a gente vai pegar tudo que tá na parte de dentro dela, sacou? Então a equação dela vai ser assim:

x - x c 2 + y - y c 2 < r

Ou então

x - x c 2 + y - y c 2 < r 2

Pegamos todos os pontos que têm uma distância até o centro da bola menor que o raio da circunferência, saca? E isso serve pro caso de termos coisas com z também, em que estaríamos tratando da parte interna de uma esfera, tipo assim:

x - x c 2 + y - y c 2 + z - z c 2 < r 2

Bom, então bora ver se a equação aqui serve nessa definição, seja pro R 2 ou pro R 3 .

Passo 2

A equação da circunferência da questão é:

x 2 + y 2 - 2 y < 3

Beleza, vamos tentar deixar no formato do passo 1 . Completando o quadrado pro y :

x 2 + y 2 - 2 y + 1 < 3 + 1

x 2 + y - 1 2 < 4

Assim,

( x - 0 ) 2 + y - 1 2 < 2 2

Dessa equação, a gente conclui que esse conjunto é sim uma bola aberta no R 2 , com centro no ponto ( 0 ,   1 ) e raio igual a 2 .

Resposta

Bola aberta em R 2 : centro em ( 0 ,   1 ) e raio 2 .

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