59. Prove o Teorema 4.1.3 para o caso em que f tem um valor máximo relativo em c .

Passo 1

Vamos olhar o que o teorema diz e prová-lo para o caso da questão.

Passo 2

O teorema 4.1.3 nos diz o seguinte:

“Se f ( x ) foi definida para todos os valores de x no intervalo aberto ( a , b ) e se f tiver um extremo relativo em c , onde a < c < b , então f ' c = 0 , se f ' ( c ) existir.”

Bem, no valor extremo de uma curva a derivada é zero, se c é o ponto para f atingir esse valor extremo, nesse ponto, a derivada será 0, certinho?

Passo 3

Como c é um ponto de máximo para a função, vamos tomar um exemplo para provar...

Digamos que f x = 4 - x 2 . O ponto de máximo dessa função será um valor c , porque é uma função contínua, então podemos achar seu ponto de máximo, ele existe.

Derivando e igualando a zero, temos

f ' x = - 2 x = 0

x = 0

Em x = 0 a derivada da função é zero, agora para provar que é ponto de máximo, derivar de novo e e avaliar o sinal.

f ' ' x = - 2

Como a segunda derivada é negativa, comprovamos que o ponto é de máximo.

Passo 4

Esse ponto onde f ' x = 0 é o nosso c , então c = 0 . Agora precisamos confirmar que f ' c = 0 . Como calculamos, f ' x = - 2 x .

Substituindo x = c = 0

f ' 0 = - 2.0 = 0

Provamos que, sendo c um ponto de máximo, f ' c = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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