59. Prove o Teorema 4.1.3 para o caso em que tem um valor máximo relativo em .

O teorema 4.1.3 nos diz o seguinte:

“Se foi definida para todos os valores de no intervalo aberto e se tiver um extremo relativo em , onde , então , se existir.”

Bem, no valor extremo de uma curva a derivada é zero, se é o ponto para atingir esse valor extremo, nesse ponto, a derivada será 0, certinho?

Como é um ponto de máximo para a função, vamos tomar um exemplo para provar...

Digamos que . O ponto de máximo dessa função será um valor , porque é uma função contínua, então podemos achar seu ponto de máximo, ele existe.

Derivando e igualando a zero, temos

Em a derivada da função é zero, agora para provar que é ponto de máximo, derivar de novo e e avaliar o sinal.

Como a segunda derivada é negativa, comprovamos que o ponto é de máximo.

Esse ponto onde é o nosso , então . Agora precisamos confirmar que Como calculamos, .

Substituindo

Provamos que, sendo um ponto de máximo,