a. Prove que f(x) = x - ln(x) é crescente para x > 1.

b. Usando o item (a), mostre que ln(x) < x * e^x > 1 .

Passo 1

Item a :

Vamos derivar a função: f ' x = 1 - 1 x

Temos que x= 1 é um ponto crítico do gráfico, pois:

f ' x = 0 → 1 = 1 x → x = 1

Sabemos que a função é crescente nos pontos onde a derivada é positiva, então vejamos:

(Veja que 1 é sempre maior que uma fração com numerador 1)

Portanto, a função é crescente para x > 1 .

Passo 2

Item b:

Temos pelo item anterior que a função é sempre crescente para x >1. Veja também que:

f 1 = 1 - ln ⁡ 1   = 1

Bom, se a função em x = 1 é positiva e com x >1 é crescente, concluímos que a função é sempre positiva para x > 1. Então...

f x = x - ln ⁡ x   > 0   p a r a   x > 1

E daí...

x > ln ⁡ x → ln ⁡ x   < x   p a r a   x > 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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