Do ponto , situado numa das margens de um rio, de de largura, deve-se levar energia elétrica ao ponto situado na outra margem do rio. O fio a ser utilizado na água custa o metro, e o que será utilizado fora, o metro. Como deverá ser feita a ligação para que o gasto com os fios seja o menor possível? (Suponha as margens retilíneas e paralelas.)

Da imagem do passo 1, temos, por relação de triângulo retângulo:

Também das relações de triângulo retângulo, temos

Última relação que precisamos encontrar pra esse exercício hehehe da figura, temos que

Então:

Mas e , pelo passo anterior, vale :

Substituindo e na equação do custo total:

Temos a função em função de certo?

Agora queremos saber quando esse custo será mínimo. Isso vai acontecer quando sua derivada for igual a 0 não é? Pois vimos que nesse ponto, a função está em seu mínimo.

Então a função admitirá um mínimo quando .

Vamos derivar a função e igualar a :

Derivando:

Humm, temos uma multiplicação de fatores cujo resultado dá 0

Assim,

OU:

Como , isso nuuunca vai ser !! Então nos resta usar nossa segunda opção:

Beleza, temos que o seno

Lembrando da relação fundamental da trigonometria:

Assim,

Agora vamos observar essa figura de novo:

Encontramos que , então quantos metros temos em e em ?

Em podemos só fazer uma subtração né, porque

Como em temos fios fora da água, cada metro custa , então vamos gastar:

Agora vamos encontrar o comprimento usando Pitágoras:

Como está relacionado ao fio dentro da água, cada metro custará :

Ou seja, a nossa ligação será feita com de fio fora da água e dentro da água , e portanto, gastaremos , o menor valor possível para a situação.

E acabouuuuuuuu :D