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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 8

Identifique os pontos de inflexão e os máximos e mínimos locais da função representada graficamente. Identifique os intervalos em que a função é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo.

Passo 1

Vamos calcular a derivada primeira e segunda da função:

y ' =   - 2 s e n   x - 2

y ' ' =   - 2 cos ⁡ x  

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y ' =   - 2   s e n   x - 2 = 0 → s e n   x =   - 2 2

x =   - π 4   e 5 π 4  

Observe que o corresponde negativo de 5 π 4 é - 3 π 4

Vamos ver se são pontos de máximo ou mínimo pela derivada segunda:

y ' ' - π 4 = - 2 < 0

y ' ' 5 π 4 = 2 > 0    

y ' ' - 3 π 4 = 2 > 0

Então a função possui pontos de máximo em x =   - π 4   e pontos de mínimo em x = 5 π 4 e   x =   - 3 π 4 . Além disso, temos que:

Assim vemos que temos pontos de máximo em x = - π e x = 3 π 2 também.

Passo 3

Os pontos de inflexão são onde muda a concavidade, então vamos ver em que pontos a derivada segunda é positiva ou negativa...

Temos que cos ⁡ x = 0   → x = π 2   o u   x = 3 π 2

y ' ' =   - 2 cos ⁡ x  

Então, temos que a concavidade é para baixo em - π 2 , π 2     e para cima em - π ,   - π 2 e ( π 2 , 3 π 2 ) . E os pontos de inflexão são: - π 2 ,   2 π 2 e   π 2 ,   - 2 2 .

Resposta

Pontos de máximo em x =   - π 4   , x = - π   e   x = 3 π 2     e pontos de mínimo em x = 5 π 4 e   x =   - 3 π 4 .  

A concavidade é para baixo em - π 2 , π 2     e para cima em - π ,   - π 2 e ( π 2 , 3 π 2 ) . E os pontos de inflexão são: - π 2 ,   2 π 2 e   π 2 ,   - 2 2 .

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