Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.5 - Ex. 50

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.

Passo 1

Oi oi meu querido!! Bora matar mais uma?

Nós temos a função

E aqui vamos seguir o seguinte roteiro para esboçar o gráfico dela.

A. Encontrar o domínio em que a função é definida.

B. Encontrar os interceptos. Que são os pontos onde a função cruza o eixo , isso é:

E o pontos onde a função cruza o eixo , isso é:

C. Verificar se há simetria par, isso é:

Para isso, basta substituir por e verificar se a expressão se mantém a mesma.

D. Procurar por assíntotas horizontais e verticais.

Uma assíntota horizontal é um valor real para o qual a função tende quando tende para infinito:

Já uma assíntota vertical é um valor de no qual a função possui uma descontinuidade e tende para infinito.

E. Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, basta derivar a função e nos intervalos em que a derivada for positiva a função cresce

E nos intervalos em que a derivada for negativa a função decresce

F. Encontrar os pontos de máximo e mínimo local.

Esses pontos ocorrem quando a derivada vale zero e troca de sinal ou quando a derivada possui uma descontinuidade e troca de sinal.

Caso a derivada fosse negativa e depois do ponto ela é positiva, então a função possui um ponto de mínimo local. Se a derivada era positiva e depois do ponto ela é negativa, então a função possui um ponto de máximo local.

G. Encontrar os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.

A concavidade é para cima se a derivada segunda for positiva

E a concavidade é para baixo se a derivada segunda for negativa

Por fim, um ponto de inflexão é um ponto onde a derivada segunda vale zero e troca de sinal.

H. Esboçar a função juntando as informações obtidas.

Passo 2

Domínio

Temos um logaritmo, e o logaritmo só é definido desde que seu argumento seja maior do que zero, portanto temos que nossa função está definida em .

Solucionando a equação de segundo grau, podemos ver que ela tem raíz em e .

Como essa equação de segundo grau possui , então ela é côncava para cima. Dessa forma ela é positiva em .

Portanto nosso domínio é

Intersecções com os eixos

No eixo , a intersecção ocorre quando

Nossa função intercepta o eixo em .

Elevando ambos os lados pela exponencial temos:

Solucionando a equação, temos

Dessa forma, nossa função intercepta o eixo em e

Passo 3

Simetria

Não há simetria no gráfico., pois

Assíntotas

O gráfico não possui assíntotas horizontais. Isso ocorre pois quando o limite não existe.

Como é uma equação de segundo grau côncava para cima, então

Logo,

O mesmo ocorre para

Portanto a função não possui assíntotas horizontais.

Para verificar se há assíntotas verticais vamos olhar o limite quando a função tende para os pontos de descontinuidade que são e

Quando calculamos o limite

Dessa forma, em e temos uma assíntota vertical.

Passo 4

Intervalos de crescimento e decrescimento

Derivando a função, temos

Sobre esses fatores temos que:

é maior que zero quando e quando . Que são todos os pontos do nosso domínio.

Já para o fator de cima, temos que

Avaliando isso para o nosso domínio temos que a primeira derivada é negativa quando , pois o fator do numerador é negativo.

E a primeira derivada é positiva quando , pois o fator do numerador é positivo.

Assim, nossa função está crescendo em e decrescendo em .

Valores de máximo e mínimo locais

A função não possui pontos críticos, portanto, não possui valores de máximo e mínimo.

Um valor que poderia ser ponto crítico é , no entanto ele não está definido no domínio.

Passo 5

Concavidade e ponto de inflexão

Tirando a segunda derivada da função, temos

Sabemos que esse denominador é sempre positivo, além disso ele está elevado ao quadrado, então ele só pode ser positivo mesmo.

Fazendo bhaskara no fator do numerador, vemos que o , portanto ele não possui raízes. Substituindo qualquer valor de no numerador vemos que ele sempre será negativo.