Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.5 - Ex. 50
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.
Passo 1
Oi oi meu querido!! Bora matar mais uma?
Nós temos a função
E aqui vamos seguir o seguinte roteiro para esboçar o gráfico dela.
A. Encontrar o domínio em que a função é definida.
B. Encontrar os interceptos. Que são os pontos onde a função cruza o eixo , isso é:
E o pontos onde a função cruza o eixo , isso é:
C. Verificar se há simetria par, isso é:
Para isso, basta substituir por e verificar se a expressão se mantém a mesma.
D. Procurar por assíntotas horizontais e verticais.
Uma assíntota horizontal é um valor real para o qual a função tende quando tende para infinito:
Já uma assíntota vertical é um valor de no qual a função possui uma descontinuidade e tende para infinito.
E. Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, basta derivar a função e nos intervalos em que a derivada for positiva a função cresce
E nos intervalos em que a derivada for negativa a função decresce
F. Encontrar os pontos de máximo e mínimo local.
Esses pontos ocorrem quando a derivada vale zero e troca de sinal ou quando a derivada possui uma descontinuidade e troca de sinal.
Caso a derivada fosse negativa e depois do ponto ela é positiva, então a função possui um ponto de mínimo local. Se a derivada era positiva e depois do ponto ela é negativa, então a função possui um ponto de máximo local.
G. Encontrar os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
A concavidade é para cima se a derivada segunda for positiva
E a concavidade é para baixo se a derivada segunda for negativa
Por fim, um ponto de inflexão é um ponto onde a derivada segunda vale zero e troca de sinal.
H. Esboçar a função juntando as informações obtidas.
Passo 2
Domínio
Temos um logaritmo, e o logaritmo só é definido desde que seu argumento seja maior do que zero, portanto temos que nossa função está definida em .
Solucionando a equação de segundo grau, podemos ver que ela tem raíz em e .
Como essa equação de segundo grau possui , então ela é côncava para cima. Dessa forma ela é positiva em .
Portanto nosso domínio é
Intersecções com os eixos
No eixo , a intersecção ocorre quando
Nossa função intercepta o eixo em .
Elevando ambos os lados pela exponencial temos:
Solucionando a equação, temos
Dessa forma, nossa função intercepta o eixo em e
Passo 3
Simetria
Não há simetria no gráfico., pois
Assíntotas
O gráfico não possui assíntotas horizontais. Isso ocorre pois quando o limite não existe.
Como é uma equação de segundo grau côncava para cima, então
Logo,
O mesmo ocorre para
Portanto a função não possui assíntotas horizontais.
Para verificar se há assíntotas verticais vamos olhar o limite quando a função tende para os pontos de descontinuidade que são e
Quando calculamos o limite
Dessa forma, em e temos uma assíntota vertical.
Passo 4
Intervalos de crescimento e decrescimento
Derivando a função, temos
Sobre esses fatores temos que:
é maior que zero quando e quando . Que são todos os pontos do nosso domínio.
Já para o fator de cima, temos que
Avaliando isso para o nosso domínio temos que a primeira derivada é negativa quando , pois o fator do numerador é negativo.
E a primeira derivada é positiva quando , pois o fator do numerador é positivo.
Assim, nossa função está crescendo em e decrescendo em .
Valores de máximo e mínimo locais
A função não possui pontos críticos, portanto, não possui valores de máximo e mínimo.
Um valor que poderia ser ponto crítico é , no entanto ele não está definido no domínio.
Passo 5
Concavidade e ponto de inflexão
Tirando a segunda derivada da função, temos
Sabemos que esse denominador é sempre positivo, além disso ele está elevado ao quadrado, então ele só pode ser positivo mesmo.
Fazendo bhaskara no fator do numerador, vemos que o , portanto ele não possui raízes. Substituindo qualquer valor de no numerador vemos que ele sempre será negativo.
Para todos os valores de o numerador é negativo e o denominador positivo, assim
Concavidade para baixo em , ou seja, em todo o domínio.
Isso ocorre pois é sempre negativa.
Passo 6
Esboço da curva
Podemos então esboçar graficamente a curva
Resposta
