Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 52
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.
Passo 1
Faaaala meu colega, como vc tá?
Nós temos a função
E aqui vamos seguir o seguinte roteiro para esboçar o gráfico dela.
A. Encontrar o domínio em que a função é definida.
B. Encontrar os interceptos. Que são os pontos onde a função cruza o eixo , isso é:
E o pontos onde a função cruza o eixo , isso é:
C. Verificar se há simetria par, isso é:
Para isso, basta substituir por e verificar se a expressão se mantém a mesma.
D. Procurar por assíntotas horizontais e verticais.
Uma assíntota horizontal é um valor real para o qual a função tende quando tende para infinito:
Já uma assíntota vertical é um valor de no qual a função possui uma descontinuidade e tende para infinito.
E. Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, basta derivar a função e nos intervalos em que a derivada for positiva a função cresce
E nos intervalos em que a derivada for negativa a função decresce
F. Encontrar os pontos de máximo e mínimo local.
Esses pontos ocorrem quando a derivada vale zero e troca de sinal ou quando a derivada possui uma descontinuidade e troca de sinal.
Caso a derivada fosse negativa e depois do ponto ela é positiva, então a função possui um ponto de mínimo local. Se a derivada era positiva e depois do ponto ela é negativa, então a função possui um ponto de máximo local.
G. Encontrar os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
A concavidade é para cima se a derivada segunda for positiva
E a concavidade é para baixo se a derivada segunda for negativa
Por fim, um ponto de inflexão é um ponto onde a derivada segunda vale zero e troca de sinal.
H. Esboçar a função juntando as informações obtidas.
Passo 2
Domínio
Nossa função está definida em , pois há uma indeterminação no e a função só é definida para valores maiores que .
Intersecções com os eixos
No eixo , a intersecção ocorre em . Assim, não há interseção no eixo , afinal não está definida para a nossa função.
Nossa função intercepta o eixo em .
Assim, ocorre interseção no eixo em .
Simetria
Não há simetria no gráfico.
Assíntotas
Para verificar assíntota vertical, vamos olhar no ponto de descontinuidade, isso é quando tende a zero pela direita.
Quando calculamos o limite
Dessa forma, em temos uma assíntota vertical.
Ao calcular o limite
Podemos resolver por L’hospital, isso é, deriva em cima e deriva embaixo:
Dessa forma, em temos uma assíntota horizontal.
Passo 3
Intervalos de crescimento e decrescimento
Nossa função é:
Derivando a função, temos uma regra do quociente:
Avaliando o sinal da derivada temos que o fator no denominador será sempre positivo pois nosso domínio está restringido em , logo .
Portanto quem irá ditar o sinal da derivada é o fator no numerador.
Multiplicando ambos os lados por e assim invertendo a desigualdade, temos:
Ou
Assim, nossa função está crescendo entre e decrescendo entre .
Valores de máximo e mínimo locais
A função possui como ponto crítico, portanto,
Que é um ponto de máximo local, pois a função crescia antes de e depois disso ela decresce.
Passo 4
Concavidade e ponto de inflexão
Tirando a segunda derivada da função, temos
Aqui é sempre positivo, portanto, quem irá ditar o sinal da segunda derivada é o fator no numerador.
Assim, temos
Ou
Concavidade para cima quando
Concavidade para baixo quando .
Isso ocorre pois todos os outros fatores são positivos.
O ponto de inflexão é .
Passo 5
Esboço da curva
Podemos então esboçar graficamente a curva
Resposta
