Identifique a superfície cuja a equação é dada

rho^2 (sen^2 phi - 4 cos^2 phi) = 1

Passo 1

A superfície dada está em coordenadas esféricas, para tentarmos identificar quem é essa superfície podemos passa-lá para as coordenadas retangulares.

Para isso temos que:

x = ρ cos ⁡ θ s e n   ϕ

y = ρ s e n   θ   s e n   ϕ

z = ρ cos ⁡ ϕ

Temos também que:

ρ = x 2 + y 2 + z 2

Passo 2

Vamos então começar manipulando a equação em coordenadas esféricas da superfície:

Para isso precisamos somar e subtrair ρ 2 cos 2 ⁡ ϕ do primeiro termo, fazer este passo não altera em nada a expressão, mas facilitará na hora de passar para coordenadas retangulares.

ρ 2 s e n 2 ϕ - 4 cos 2 ⁡ ϕ + ρ ² cos 2 ⁡ ϕ - ρ 2 s e n 2 ϕ   = 1

Simplificando:

ρ 2 ( s e n 2 ϕ + c o s 2 ϕ - 5 cos 2 ⁡ ϕ ) = 1

ρ 2 1 - 5 cos 2 ⁡ ϕ = 1

ρ 2 - ρ 2 5 cos 2 ⁡ ϕ = 1

Passando para coordenadas retangulares:

x 2 + y 2 + z 2 - 5 z 2 = 1

x 2 + y 2 - 4 z 2 = 1

Passo 3

Portanto está equação corresponde a de um hiperboloide que cresce ao longo do eixo z

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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