Identifique o tipo de seção cônica cuja equação é dada e encontre os vértices e os focos.

30. 4 * x^2 + 4 * x + y^2 = 0

Passo 1

Nessa questão, nos foi dada a equação de uma figura cônica, para identificarmos, encontrarmos seus vértices e focos.

Bom, a equação que ganhamos foi 4 x 2 + 4 x + y 2 = 0 , repare que temos x e y elevados ao quadrado, então temos uma equação de elipse ou hipérbole, e como o sinal entre eles é positivo, temos uma elipse, basta ajeitarmos um pouquinho a equação para deixar com uma cara mais parecida com a equação que conhecemos.

A equação geral de uma elipse é

x - x 0 2 b 2 + y - y 0 2 a 2 = 1

Então precisaremos completar o quadrado para encontrarmos uma equação dessa forma e termos certeza de que estamos certos na nossa análise.

Passo 2

Bom, vamos completar quadrado em x :

4 x 2 + 4 x + y 2 = 0

Precisamos encontrar um produto notável, e colocarmos 1 4 - 1 4 nos ajuda a conseguirmos o que queremos:

4 ( x 2 + x + 1 4 - 1 4 ) + y 2 = 0

Então agora temos o produto notável:

4 x + 1 2 2 - 1 + y 2 = 0

4 x + 1 2 2 1 + y 2 1 = 1

Organizando a equação para a forma padrão:

x + 1 2 2 1 / 4 + y 2 1 = 1

Show! Agora nossa equação está bem bonitinha, com carinha de elipse com centro fora da origem.

Passo 3

A equação geral de uma elipse com centro fora da origem é

x - x 0 2 b 2 + y - y 0 2 a 2 = 1

a nossa é

4 x + 1 2 2 + y 2 = 1

percebemos que x 0 = - 1 2   e     y 0 = 0 .

Os vértices de uma elipse com centro fora da origem podem ser descritos como

V = x 0 , y 0 ± a

então nossos vértices são

V = ( - 1 2 , ± 1 )

Agora os focos de uma elipse são dados por

f = ( x 0 , y 0 ± a 2 + b 2 )

então

f = - 1 2 , ± 3 2

Resposta

Elipse

V = ( - 1 2 , ± 1 )

f = - 1 2 , ± 3 2

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