Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.5 - Ex. 30
Identifique o tipo de seção cônica cuja equação é dada e encontre os vértices e os focos.
30.
Passo 1
Nessa questão, nos foi dada a equação de uma figura cônica, para identificarmos, encontrarmos seus vértices e focos.
Bom, a equação que ganhamos foi , repare que temos e elevados ao quadrado, então temos uma equação de elipse ou hipérbole, e como o sinal entre eles é positivo, temos uma elipse, basta ajeitarmos um pouquinho a equação para deixar com uma cara mais parecida com a equação que conhecemos.
A equação geral de uma elipse é
Então precisaremos completar o quadrado para encontrarmos uma equação dessa forma e termos certeza de que estamos certos na nossa análise.
Passo 2
Bom, vamos completar quadrado em
Precisamos encontrar um produto notável, e colocarmos nos ajuda a conseguirmos o que queremos:
Então agora temos o produto notável:
Organizando a equação para a forma padrão:
Show! Agora nossa equação está bem bonitinha, com carinha de elipse com centro fora da origem.
Passo 3
A equação geral de uma elipse com centro fora da origem é
a nossa é
percebemos que .
Os vértices de uma elipse com centro fora da origem podem ser descritos como
então nossos vértices são
Agora os focos de uma elipse são dados por
então
Resposta
Elipse