Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.8 - Ex. 18
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
18.
Passo 1
Show de bola, galera!
O enunciado pede pra gente encontrar o raio e o intervalo de convergência da série.
Simbora aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências.
Vamos calcular o seguinte limite:
- Onde se , a série é divergente.
- Se , a série é convergente.
- E se nada podemos afirmar.
Então, sendo:
O termo seguinte será:
Passo 2
Resolvendo o limite acima, temos:
Como esse limite, depois de substituir, irá ficar indeterminado, iremos manipulá-lo:
Colocando em evidência no numerador e cancelando os termos em seguida:
Como tende a zero:
Então, retornando ao que estávamos trabalhando:
Logo, pelo Teste da Razão, nossa série convergirá para ,
ou seja, para .
Pronto! Já achamos o nosso raio de convergência .
Passo 3
Show de bola!
A princípio já sabemos que a nossa série convergirá para o intervalo em que , ou seja,
Portanto, convergirá para o intervalo em função do nosso raio de convergência.
Mas e para os extremos do intervalo ( e )? É o que vamos calcular agora.
Passo 4
Quando , ficamos com a série
que, pelo Teste da Série Alternada, é uma série divergente.
Já para , ficamos com a série
Que é uma série divergente.
Desta forma, chegamos que o intervalo de convergência é dado por .