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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.4 - Ex. 1

  1. Identifique os valores de equilíbrio. Quais são estáveis e quais são instáveis?
  2. Construa a reta de fase. Identifique os sinais de y' e y".
  3. Esboce várias curvas integrais.

d y d x = ( y + 2 ) ( y - 3 )

Passo 1

  1. Os valores de equilíbrio são onde a derivada é zero, ou seja, y = - 2 e y = 3 .

    2. Veja que a derivada vai ser negativa no intervalo de ( - 2,3 ) , e positiva antes de - 2 e depois de 3 , portanto, qualquer solução com valor entre ( - 2,3 ) vai decrescer em direção a y = - 2 .

    Com isso, temos que y = - 2 é um valor estável e y = 3 é um valor instável da função.

    Passo 2

  2. Vamos calcular a derivada segunda:

    3. y ' ' = d d x y ' = d d x ( y 2 - y - 6 )

    y ' ' = 2 y y ' - y ' = 2 y - 1 y '

    y ' ' = ( 2 y - 1 ) ( y + 2 ) ( y - 3 )

    Então, y ' ' muda de sinal em y = 1 2 , y = - 2 e y = 3 .

    Então, montamos a reta de fases:

    Passo 3

  3. Para esboçar as curvas integrais, precisamos descobrir a integral.

Como a derivada d y d x = y + 2 y - 3 , vamos ter:

d y ( y + 2 ) ( y - 3 ) = d x

Aí a gente tem que integrar dos dois lados (dá pra usar aquela tabela de integrais aqui), vai ficar assim:

- 1 5 ln ⁡ y + 2 + 1 5 ln ⁡ y - 3 = x + C

Agora a gente tem que isolar o y ...

1 5 ( - ln ⁡ y + 2 + ln ⁡ ( y - 3 ) )   = x + C

1 5 ln ⁡ ( y - 3 y + 2 ) = x + C

Vamos fazer a exponencial dos dois lados...

y - 3 y + 2 = e 5 x + C

y 1 - e 5 x + 5 C = 2 e 5 x + 5 C + 3

y = 2 e 5 x + 5 C + 3 1 - e 5 x + 5 C =   2 e 5 x ∙ e 5 C + 3 1 - e 5 x ∙ e 5 C  

Podemos fazer:

e 5 C = K

y = K 2 e 5 x + 3 1 - K e 5 x

Sendo essa a família de integrais. Para esboçarmos as curvas integrais, é só marcarmos as retas de fase e alternamos o valor de K na integral.

Usando alguns valores, como K = { ± 1 , ± 2 , ± 3 } Temos as curvas integrais:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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