Resistência proporcional a raiz(v) . Um corpo de massa m é disparado verticalmente para baixo com velocidade inicial v₀ . Suponha que a força de resistência seja proporcional à raiz quadrada da velocidade e determine a velocidade terminal a partir de uma análise gráfica.

Passo 1

Para entendermos o que está acontecendo façamos um diagrama de corpo livre com nosso corpo de massa m . Assim, teremos

Na situação do problema como a bolinha de massa m está caindo temos que F = P - F r   e lembrando que F = m ⋅ a e que a força de resistência F r é proporcional a raiz quadrada da velocidade ( k v   ) , dessa forma

m ⋅ a = m ⋅ g -   k v  

Tendo, ainda, v 0 = v 0 .

Passo 2

Agora, que temos a equação que modela e a condição inicial do mesmo, devemos lembrar que a = d v d t e faremos

m ⋅ d v d t = m ⋅ g - k v  

Dividindo todo mundo por m

d v d t = g - k m ⋅ v  

Fazendo d v d t = 0

0 = g - k m ⋅ v

k m ⋅ v = g → v = m g k 2

Nosso v é, então, nossa velocidade terminal. Assim, Se

v 0 < m g k 2

O objeto cairá cada vez mais rápido se aproximando da velocidade terminal, agora se

v 0 > m g k 2

O objeto diminuirá e se afastará da velocidade terminal.

Resposta

v = m g k 2

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