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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.3 - Ex. 33

Uma pedra é atirada verticalmente para cima, partindo do solo com uma velocidade inicial de 20 m/s. (a) Quanto tempo irá decorrer até que a pedra retorne ao solo? (b) Com que velocidade escalar ela atinge o solo? (c) Por quanto tempo a pedra continuará subindo? (b) Qual a altura máxima atingida pela pedra?

Passo 1

Se um objeto se move livremente numa reta vertical e está sendo puxado em direção à terra pela força da gravidade, a aceleração devido à gravidade, denotada por g m/s², varia com a distância do objeto ao centro da Terra. Entretanto, para pequenas variações de distância, a aceleração, devido à gravidade, é quase constante e um valor aproximado de g, se o objeto estiver próximo ao nível do mar, será 10   m / s ² . Para esse tipo de exercício, continuam valendo as derivadas vistas para o movimento retilíneo, ou seja, v = d s d t   e   a = d v d t o u   a = d v d s d s d t = v d v d s   .

Vamos analisar nosso exercício. Uma pedra foi lançada do solo para o alto e caiu novamente. Sabemos a velocidade com que ela sai do solo (nossa velocidade inicial no instante t = 0 ). A figura a seguir ilustra a trajetória da pedra.

Seja t o tempo que passou desde o lançamento da pedra, s a distância percorrida pela pedra em t segundos, v a velocidade da pedra e |v| a velocidade escalar da pedra. Quando a pedra atinge o chão, s = 0 . Sejam t f   e   v f os valores do tempo e da velocidade quando a pedra atinge o chão novamente. A única aceleração presente durante todo o movimento é a da gravidade, que é vertical e aponta para baixo. A tabela a seguir apresenta as condições iniciais que temos.

A aceleração tem um valor constante que tomaremos como - 10   m / s ² . Sabendo que a = d v / d t , temos:

a = d v d t = - 10 d v = - 10 d t ∫ d v = ∫ - 10 d t v = - 10 t + K 1

Passo 2

Aplicando as condições iniciais que temos:

v = 20   q u a n d o   t = 0

20 = - 10 * 0 + K 1

K 1 = 20

Portanto,

v t = - 10 t + 20

Passo 3

Sabemos que v = d s d t . Assim:

d s d t = - 10 t + 20 d s = - 10 t + 20 d t ∫ d s = ∫ - 10 t + 20 d t s = - 10 t 2 2 + 20 t + K 2 s = - 5 t 2 + 20 t + K 2

Passo 4

Aplicando as condições iniciais para a distância temos:

s = 0   q u a n d o   t = 0 0 = - 5 * 0 + 20 * 0 + K 2 K 2 = 0 Portanto,

s ( t ) = - 5 t 2 + 20 t

Passo 5

Respondendo as alternativas agora:

  1. Quando a pedra retorna ao solo, s = 0   e   t = t f . Substituindo na equação final da distância temos:

    2. 0 = - 5 t f 2 + 20 t f 0 = t f - 5 t f + 20 t f = 0   s   o u   t f = 4   s Como t = 0 corresponde ao momento inicial do movimento, essa resposta não pode ser considerada. Logo, a pedra leva t = 4   s para retornar ao solo.

  2. A velocidade escalar que a pedra atinge o solo pode ser calculada utilizando os dados do tempo que ela atinge o solo. Quando t = 4 a velocidade da pedra será:

    3. v f = - 10 t + 20 v f = - 10 * 4 + 20 v f = - 20 v f = 20   m / s

  3. O tempo que a pedra subirá pode ser obtido a partir da equação da velocidade. Ela vai subir até parar, ou seja, atingir velocidade zero. Assim:

    4. 0 = - 10 t + 20 10 t = 20 t = 2   s

  4. A altura máxima a ser atingida por ela pode ser encontrada com os dados do tempo que ela vai levar para subir até atingir velocidade zero. Logo:

s m a x = - 5 2 2 + 20 * 2 s m a x = - 20 + 40 s m a x = 20   m

Resposta

  1. O tempo de retorno ao solo é t = 4   s ;
  2. A velocidade escalar com qual a pedra atinge o solo é v f = 20   m / s ;
  3. O tempo que a pedra irá subir é t = 2   s ;
  4. A altura máxima que ela irá subir é s m a x = 20   m
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