Ilustre a regra de L’Hospital fazendo o gráfico de f(x) / g(x) e f'(x) / g'(x) próximo de x = 0 , para ver que essas razões têm o mesmo limite quando x → 0 . Calcule também o valor exato do limite.

f(x) = e^x - 1 e g(x) = x^3 + 4x

Passo 1

Opa, aqui temos a função:

f x = e x - 1

g x = x 3 + 4 x

Devemos fazer o gráfico de:

f x g x

f ' x g ' x

E localizar o ponto x = 0 .

Essa é uma questão muito interessante, o objetivo aqui é estimar o valor de:

lim x → 0 ⁡ f x g x

Mostrando que:

lim x → 0 ⁡ f x g x = lim x → 0 ⁡ f ' x g ' x

Que é a regra de L’Hospital, ou seja, vamos provar na na prática que a regra de L’Hospital funciona!

Depois disso vamos usar a regra de L’Hospital pra calcular o valor de:

lim x → 0 ⁡ f x g x

Vamos lá?!

Passo 2

Vamos plotar primeiro a razão:

f ( x ) g ( x ) = e x - 1 x 3 + 4 x

Temos que:

Assim x tende a zero, então quando f ( x ) / g ( x ) tende a 0,25 . No ponto x = 0 a função é indefinida, pois:

e 0 - 1 x 0 + 4 0 = 0 0

Passo 3

Agora precisamos plotar a curva de:

f ' ( x ) g ' ( x )

Primeiro vamos calcular as derivadas:

f x = e x - 1

g x = x 3 + 4 x

Temos que:

f ' x = e x

g ' x = 3 x 2 + 4

Agora vamos plotar:

f ' ( x ) g ' ( x ) = e x 3 x 2 + 4

O gráfico dessa razão é:

Opaaa...então vemos que quando x se aproxima de 0 , f x = 0,25 , então:

f x g x ≅ f ' x g ' x

Ou seja:

lim x → 0 ⁡ f ( x ) g ( x ) = lim x → 0 ⁡ f ' ( x ) g ' ( x )

Passo 4

Agora vamos calcular o valor do limite explicitamente. A derivada já ta calculada, então só temos que substituir:

lim x → 0 ⁡ e x - 1 x 3 + 4 x = lim x → 0 ⁡ e x 3 x 2 + 4 = 0,25

Aweee, exatamente o mesmo ponto que achamos nos gráficos!

Resposta

0,25

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