Determine todos os pontos da curva y = cotg(x) , para 0 < x < pi, em que a tangente é paralela à reta y = -x . Esboce a curva e a(s) tangente(s) no mesmo gráfico, identificando cada uma com sua equação.

Passo 1

Antes de começarmos a discutir sobre a questão, precisamos relembrar a relação de paralelismo entre duas retas. Duas retas são paralelas se, e somente se, o coeficiente angular de ambas for igual. Isto é, dada uma reta y = a x + b , o valor que multiplica o x , no caso a , deve ser igual para ambas as retas. Desta forma, devemos encontrar pontos cuja reta tangente tem inclinação igual a 2.

Mas aí a gente entra em um simples questionamento. Como encontramos a inclinação de uma reta tangente a uma curva? É neste exato momento em que entramos com os nossos conhecimentos de cálculo!

A função inclinação de uma reta nada mais é a derivada da sua curva. Portanto, quando a derivada da função for igual a 2, teremos retas paralelas a reta y = 2 x !

Passo 2

Vamos começar determinando a função derivada da curva y = t g ( x ) . Sendo assim, temos:

y ' = c o t g x '

y ' = - c o s s e c 2 x

Passo 3

Devemos descobrir agora quais os valores de x tais que y ' = - 1 . Logo, temos:

y ' = - cossec 2 ⁡ x = - 1

c o s s e c ( x ) = 1

1 s e n ( x ) = 1

s e n ( x ) = 1

Para o intervalo 0 < x < π , o valor de x tal que sen ⁡ x = 1 é:

x = π 2

Passo 4

O ponto é:

A = π 2 , c o t g π 2 = π 2 , 0

Passo 5

Abaixo temos o gráfico da curva e das retas paralelas a curva y = 2 x .

Resposta

A = π 2 , c o t g π 2 = π 2 , 0

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