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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 22

Determine o paralelepípedo-retângulo de volume máximo, com três de suas faces nos planos coordenados, contido no tetraedro { x , y , z ∈ R 3 | x + 2 y + 3 z ≤ 12 ,   x ≥ 0 ,   y ≥ 0 ,   z ≥ 0 }.

Passo 1

Um enunciado mais claro para este problema seria: “Para uma caixa de lados a , b e c , maximize o volume V = a b c , devendo o seu vértice pertencer ao tetraedro dado”. Aí pronto! Matamos o enunciado!

Uma representação do problema nos ajudará a desenvolver melhor a solução:

Vemos que o volume total é simplesmente dado por V = a b c .

Note que x = a ,   y = b e z = c (colocamos a caixa com um vértice na origem!!).

Em temos de nomenclatura, neste exercício identificamos:

f = a b c  

g = a + 2 b + 3 z - 12

Lembrando que a f sempre vai ser a função que queremos minimizar/maximizar e g sempre representará uma restrição na forma g = 0 (no caso, o vértices da caixa deve estar tocando o tetraedro dado).

Agora, devemos resolver o sisteminha

∇ f = λ ∇ g g = 0

Para achar os pontos de máximo/mínimo.

Passo 2

Vamos começar calculando o vetor ∇ f :

∇ f = ∂ f ∂ a , ∂ f ∂ b , ∂ f ∂ c = b c , a c , a b

Ótimo! Agora façamos o mesmo para o vetor ∇ g :

∇ g = ∂ g ∂ a , ∂ g ∂ b , ∂ g ∂ c = 1,2 , 3

E pronto, já temos os gradientes!

Passo 3

Agora, vamos substituir ∇ f e ∇ g no sisteminha ∇ f = λ ∇ g g = 0 , o que nos fornece:

b c , a c , a b = λ 1,2 , 3 a + 2 b + 3 z - 12 = 0

Lembre-se que este sisteminha na verdade representa 4 equações:

b c = λ a c = 2 λ a b = 3 λ     a + 2 b + 3 z = 12

Sisteminha complicado! Vamos dividir a primeira equação pela segunda. O resultado é

b a = 1 2

O que implica de imediato que b = 1 2 a .

Do mesmo modo, dividindo a terceira equação pela primeira, achamos

a c = 3

O que nos leva de imediato até c = a 3 . Ou seja, todos os lados devem ter um valor proporcional a a ! Mas, qual valor?? Basta substituir na equação que sobrou:

a + 2 b + 3 z = a + a + a = 3 a = 12

Ou seja, temos a = 4 , e daí b = 2 e c = 4 3 .

Resposta

Caixa de arestas 4 , 2 e 4 3 .

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Dada a função z = a x 2 + b y 2 + c , analisar os pontos críticos, considerando que:a) a0 e b0 .
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