Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 23
A temperatura em qualquer ponto é dada por . Determine a temperatura máxima sobre a esfera . Qual a temperatura mínima?
Passo 1
Em temos de nomenclatura, neste exercício identificamos:
Lembrando que a sempre vai ser a função que queremos minimizar/maximizar e sempre representará uma restrição na forma .
Agora, devemos resolver o sisteminha
Para achar os pontos de máximo/mínimo.
Passo 2
Vamos começar calculando o vetor :
Ótimo! Agora façamos o mesmo para o vetor :
E pronto, já temos os gradientes!
Passo 3
Agora, vamos substituir e no sisteminha , o que nos fornece:
Lembre-se que este sisteminha na verdade representa 4 equações:
Simplificando:
Agora, para resolver, vamos dividir a segunda equação pela terceira, obtendo
O que nos leva de imediato para . Agora, dividindo a primeira equação pela segunda, é obtido
O que nos leva de imediato até . Ou seja, todos os lados devem ter um valor proporcional a ! Mas, qual valor?? Basta substituir na equação que sobrou:
Ou seja, o resultado é , e . Assim, temos vários pontos candidatos: , , , , e . Haja ponto!
Passo 4
Agora que temos os pontos candidatos, vamos substituir eles na função e ver o que que dá.
Assim, primeiramente, testando , a fica
O que significa este resultado? Ainda não sabemos! Poderia ser o máximo ou o mínimo! Devemos comparar com o valor de para o outro ponto candidato para termos certeza!
Passo 5
Neste momento, notamos que, independente de qual dos 6 pontos candidatos seja escolhido o módulo da continuará a valer 200, certo? O máximo que ocorrerá com a é ela acabar com o sinal trocado!
O que significa este resultado? Bem, temos claramente que o máximo valor da é de 200 e o mínimo é de -200
Resposta
Máximo é e mínimo é .