A temperatura T em qualquer ponto x , y , z é dada por T = 100 x 2 y z . Determine a temperatura máxima sobre a esfera x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 . Qual a temperatura mínima?

Passo 1

Em temos de nomenclatura, neste exercício identificamos:

f = 100 x 2 y z

g = x 2 + y 2 + z 2 - 4

Lembrando que a f sempre vai ser a função que queremos minimizar/maximizar e g sempre representará uma restrição na forma g = 0 .

Agora, devemos resolver o sisteminha

∇ f = λ ∇ g g = 0

Para achar os pontos de máximo/mínimo.

Passo 2

Vamos começar calculando o vetor ∇ f :

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z = 200 x y z , 100 x 2 z , 100 x 2 y

Ótimo! Agora façamos o mesmo para o vetor ∇ g :

∇ g = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z = 2 x , 2 y , 2 z

E pronto, já temos os gradientes!

Passo 3

Agora, vamos substituir ∇ f e ∇ g no sisteminha ∇ f = λ ∇ g g = 0 , o que nos fornece:

200 x y z , 100 x 2 z , 100 x 2 y = λ 2 x , 2 y , 2 z x 2 + y 2 + z 2 - 4 = 0

Lembre-se que este sisteminha na verdade representa 4 equações:

200 x y z = 2 x λ 100 x 2 z = 2 y λ 100 x 2 y = 2 z λ x 2 + y 2 + z 2 = 4

Simplificando:

100 y z = λ 50 x 2 z = y λ 50 x 2 y = z λ x 2 + y 2 + z 2 = 4

Agora, para resolver, vamos dividir a segunda equação pela terceira, obtendo

z y = y z

O que nos leva de imediato para y 2 = z 2 . Agora, dividindo a primeira equação pela segunda, é obtido

2 y x 2 = 1 y

O que nos leva de imediato até x 2 = 2 y 2 . Ou seja, todos os lados devem ter um valor proporcional a y ! Mas, qual valor?? Basta substituir na equação que sobrou:

x 2 + y 2 + z 2 = 2 y 2 + y 2 + y 2 = 4 y 2 = 4

Ou seja, o resultado é y = ± 1 , z = ± 1 e x = ± 2 . Assim, temos vários pontos candidatos: ( 2 , 1,1 ) , - 2 , - 1 , - 1 , ( - 2 , - 1,1 ) , ( - 2 , 1 , - 1 ) , ( 2 , - 1,1 ) e ( 2 , 1 , - 1 ) . Haja ponto!

Passo 4

Agora que temos os pontos candidatos, vamos substituir eles na função f e ver o que que dá.

Assim, primeiramente, testando ( 2 , 1,1 ) , a f fica

f = 100 x 2 y z = 200

O que significa este resultado? Ainda não sabemos! Poderia ser o máximo ou o mínimo! Devemos comparar com o valor de f para o outro ponto candidato para termos certeza!

Passo 5

Neste momento, notamos que, independente de qual dos 6 pontos candidatos seja escolhido o módulo da f continuará a valer 200, certo? O máximo que ocorrerá com a f é ela acabar com o sinal trocado!

f = 100 x 2 y z = - 200

O que significa este resultado? Bem, temos claramente que o máximo valor da f é de 200 e o mínimo é de -200 .

Resposta

Máximo é 200 e mínimo é - 200 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados