Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 17
Verifique que é o valor máximo de , com , sujeito à restrição para . Conclua que a média geométrica de três números positivos é sempre menor ou igual à média aritmética dos mesmos.
Passo 1
Em temos de nomenclatura, neste exercício identificamos:
Lembrando que a sempre vai ser a função que queremos minimizar/maximizar e sempre representará uma restrição na forma (no caso, a soma deve ser igual a ).
Agora, devemos resolver o sisteminha
Para verificar os pontos de máximo/mínimo.
Passo 2
Vamos começar calculando o vetor :
Ótimo! Agora façamos o mesmo para o vetor :
E pronto, já temos os gradientes!
Passo 3
Agora, vamos substituir e no sisteminha , o que nos fornece:
Lembre-se que este sisteminha na verdade representa 4 equações:
Agora, para resolver, o mais sensato é isolar , e nas três primeiras equações. De fato, como , o nosso sisteminha fica
Isolando , nos sobra:
O resultado deste sisteminha fornece . Voltando atrás um pouco, isto nos dá e , voltando mais um pouco, temos .
Logo, o valor extremo da função é dado por:
Como queríamos verificar!
Passo 4
Agora, quanto à segunda parte da questão, lembramos que a média geométrica dso múmeros , e é dada por
Por outro lado, a média aritmética é dada por
Mas, é o que acabamso de chamar de ! Logo,
Agora, nos perguntamos: qual o valor máximo que pode assumir? Ora, acabamos de obter que o máximo de em função de é . Logo, o máximo de deve ser ! Mas !
Concluímos que, para quaisquer 3 valores , e , a média geométrica destes será, NO MÁXIMO, igual à média aritmética, como queríamos provar.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)