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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 12

Encontre o ponto da curva x^2 - 2 x y + y^2 - 2 x - 2 y + 1 = 0 mais próximo da origem.

Passo 1

Um enunciado mais claro para este problema seria: “Determine a menor distâncias de um ponto até a origem, sendo que este ponto deve estar sobre a curva dada”. Aí pronto! Matamos o enunciado!

Lembrando que a distância de um ponto (x , y) à origem é dada por sqrt(x^2 + y^2) , em temos de nomenclatura, neste exercício identificamos:

f = sqrt(x^2 + y^2)

g = x^2 - 2 x y + y^2 - 2 x - 2 y + 1

Lembrando que a f sempre vai ser a função que queremos minimizar/maximizar e g sempre representará uma restrição na forma g = 0 (no caso, o ponto DEVE estar SOBRE a curva).

Hmmmm, mas note que termos definido f = sqrt(x^2 + y^2) nos quebra as pernas, pois desse jeito teremos que derivar uma raiz quadrada e carregar ela pra sempre. Por que não definimos, melhor f = x^2 + y^2 ? Afinal, procurar o menor sqrt(x^2 + y^2) é o mesmo que procurar o menor x^2 + y^2 ! Espertezaaaa!

Agora, devemos resolver o sisteminha

{[[grad f = lambda grad g],[g = 0]])

Para achar os pontos de máximo/mínimo.

Passo 2

Vamos começar calculando o vetor grad f :

grad f = ((del f)/(del x) , (del f)/(del y)) = (2 x , 2 y)

Ótimo! Agora façamos o mesmo para o vetor grad g :

grad g = ((del g)/(del x) , (del g)/(del y)) = (2 x - 2 y - 2 , - 2 x + 2 y - 2)

E pronto, já temos os gradientes!

Passo 3

Agora, vamos substituir grad f e grad g no sisteminha {[[grad f = lambda grad g],[g = 0]]) , o que nos fornece:

{[[(2 x , 2 y) = lambda (2 x - 2 y - 2 , - 2 x + 2 y - 2)],[x^2 - 2 x y + y^2 - 2 x - 2 y + 1 = 0]])

Lembra-se que este sisteminha na verdade representa 3 equações:

{[[2,x,=,lambda,(2 x - 2 y - 2)],[2,y,=,lambda,(- 2 x + 2 y - 2)],[x^2,-,2,x,y,+,y^2,-,2,x,-,2,y,+,1,=,0]])

Agora, para resolver, o mais sensato é isolar x e y nas duas primeiras equações:

{[[x,(lambda - 1),=,lambda,(y + 1)],[y,(lambda - 1),=,lambda,(x + 1)]])

Dividindo uma equação pela outra, obtemos que (x)/(y) = (y + 1)/(x + 1) , ou seja x^2 + x = y^2 + y . Ou seja, a princípio, x = y sería uma solução válida (vai me dizer que não é?!). Assim, substituindo y = x na última equação do sisteminha anterior, ficamos com

x^2 - 2 x^2 + x^2 - 2 x - 2 x + 1 = - 4 x + 1 = 0

...o que nos fornece x = y = (1)/(4) , ou seja, o ponto

((1)/(4) , (1)/(4))

Resposta

((1)/(4) , (1)/(4))

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