Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.14 - Ex. 7
No instante , a posição de uma partícula no espaço é dada por:
- Escrever a função vetorial que nos dá a trajetória da partícula.
- Determinar o vetor tangente à trajetória da partícula no ponto e o vetor aceleração.
- Determinar a posição, a velocidade e a aceleração da partícula para .
Passo 1
a) Inicialmente ele nos pede para encontrar uma função vetorial que descreve a trajetória da partícula. Essa função vai ter a seguinte forma:
Como ele já nos disse os valores de , e basta substituirmos. Assim,
Passo 2
b) A ideia nesse item vai ser encontrar qual é o ponto da trajetória tal que , em seguida, vamos encontrar a derivada da curva e pra fechar com chave de ouro vamos achar o a valor da derivada no ponto . Vamos lá!
Como :
Comparando os termos em :
Passo 3
Agora vamos derivar a expressão de :
Derivando,
Logo,
Para acharmos o vetor tangente basta fazermos acharmos o valor de no ponto , isto é, . Assim,
Então o vetor que ele nos pede é o seguinte:
Passo 4
Para finalizar o segundo item ele nos pede para acharmos o vetor aceleração da partícula. Como o vetor velocidade é a derivada do vetor trajetória:
Opa, mas do item já encontramos a derivada da trajetória no Passo anterior. Dessa forma:
Mas ele nos pede a aceleração! Como a aceleração é a derivada da velocidade, vamos derivar a expressão acima.
Derivando,
Portanto,
Passo 5
c) Para finalizar vamos encontrar a posição, a velocidade e a aceleração da partícula no instante . O vetor posição será o seguinte:
Fazendo as contas:
Já o vetor velocidade:
Isto é,
E para o vetor aceleração:
Logo,