Sejam a → e b → dois vetores constantes não nulos. Seja r(t) = e^(2t) + e^(-2t) a + b . Mostrar que r^n → (t) tem o mesmo sentido que r(t) .

Passo 1

A ideia nesse exercício é usar que quando dois vetores possuem o mesmo sentido, um é um múltiplo escalar positivo do outro, isto é:

a → = k b → , onde k > 0

A vetor r → t é o seguinte:

r → t = e 2 t a → + e - 2 t b → .

Como ele nos pede para comparar r → t com r ' ' → t , vamos derivar 2 vezes o vetor r → t .

Passo 2

Então vamos começar! Derivando a primeira vez:

r ' → t = 2 × e 2 t a → + - 2 × e - 2 t b →

Logo,

r ' → t = 2 e 2 t a → - 2 e - 2 t b →

Derivando pela segunda vez:

r ' ' → t = 2 × 2 e 2 t a → - - 2 × 2 e - 2 t b →

Assim,

r ' ' → t = 4 e 2 t a → + 4 e - 2 t b →

Passo 3

Pra finalizar, vamos mostrar que os vetores estão na mesma direção.

r ' ' → t = 4 e 2 t a → + 4 e - 2 t b →

Colocando o 4 em evidencia:

r ' ' → t = 4 e 2 t a → + e - 2 t b →

Como r → t = e 2 t a → + e - 2 t b → :

r ' ' → t = 4 r → t

Logo, os vetores r → t e r ' ' → t possuem a mesma direção.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Suponha que μ_p(θ) = cos(θ)i - sen(θ)j , u_θ(θ) = -sen(θ) * i - cos(θ) * j ,r(t) = p(t) u_p(θ(t)) , com θ = θ(t) e p = p(t) deriváveis até a segunda ordem no intervalo I . (Notação: p˙ = dp/dt, θ˙ = d
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