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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.14 - Ex. 4a

Determinar dois vetores unitários, tangentes à curva definida pela função dada, no ponto indicado.

a) f → t = e t ,   e - t ,   t 2 + 1 ; P 1,1 , 1

Passo 1

A ideia nessa questão será encontrar qual é o ponto da curva tal que f → t 0 = P , em seguida, vamos encontrar a derivada da curva. Para finalizar, vamos achar o a valor da derivada no ponto t 0 e fazer o vetor unitário nesse ponto. Vem comigo!

A curva que ele nos deu foi a seguinte:

f → t = e t ,   e - t ,   t 2 + 1

Então vamos achar qual é o ponto t 0 onde f → t 0 = P . Vem comigo!

f → t 0 = e t 0 ,   e - t 0 ,   t 0 2 + 1

Como queremos f → t 0 = P :

e t 0 ,   e - t 0 ,   t 0 2 + 1 = 1,1 , 1

Pela coordenada x :

e t 0 = 1 → t 0 = 0

Passo 2

Para acharmos um vetor tangente a curva, vamos derivar a expressão da curva

f → t = e t ,   e - t ,   t 2 + 1

Derivando,

f ' → t = e t ,   - e - t ,   2 t

Passo 3

Pra finalizar, bora vamos calcular o valor de f ' → t no ponto t = t 0 , isto é, t = 0 .

f ' → t = e t ,   - e - t ,   2 t

Assim,

f ' → 0 = ( e 0 , - e 0 ,   2 × 0 )

Fazendo as contas:

f ' → 0 = 1 , - 1,0

Mas ainda não acabou, pois ele nos pede dois vetores unitário. Para isso, vamos “dividir” o vetor pelo seu módulo. Se liga só:

u → = 1 1 2 + - 1 2 + 0 2 × 1 , - 1,0

Arrumando as coisas:

u → = 1 2 ,   - 1 2 ,   0

Como ele nos pede dois vetores podemos apenas mudar o sentido do vetor que achamos, o que irá gerar um vetor ainda tangente. Logo,

± 1 2 ,   - 1 2 ,   0

Resposta

± 1 2 ,   - 1 2 ,   0

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