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Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.10 - Ex. 47

Calcule a integral definida por dois métodos:

a ) use a fórmula prismoidal dada no exercício 44 ;

b ) use o segundo teorema fundamental do Cálculo

∫ - 1 5 x 3 + 3 x 2 - 2 x - 6 d x  

Passo 1

Letra a

A formula prismoidal vai ser para a integral de um polinômio de 3 ° grau.

∫ a b f x d x = b - a 6 f a + 4 f a + b 2 + f b

Na nossa questão vamos ter:

f x = 2 x 3 - 2 x - 3

b = 6

a = 2

Assim, a integral vai ficar:

∫ - 1 5 x 3 + 3 x 2 - 2 x - 6 d x = 5 - - 1 6 f - 1 + 4 f 5 - 1 2 + f 5 =

f - 1 + 4 f 2 + f 5

Vamos ter:

f - 1 = - 1 3 + 3 - 1 2 - 2 - 1 - 6 = - 1 + 3 + 2 - 6 = - 2

f 2 = 2 3 + 3 2 2 - 2 2 - 6 = 8 + 12 - 4 - 6 = 10

f 5 = 5 3 + 3 5 2 - 2 . 5 - 6 = 125 + 75 - 10 - 6 = 184

Logo:

- 1 + 4.1 0 + 184 = 223

Passo 2

Letra b

∫ - 1 5 x 3 + 3 x 2 - 2 x - 6 d x

Temso que começar achando a integral indefinida:

∫ x 3 + 3 x 2 - 2 x - 6 d x

Usandso as propriedades de integrais:

∫ x 3 + 3 x 2 - 2 x - 6 d x = ∫ x 3 d x + 3 ∫ x 2 d x - 2 ∫ x d x - 6 ∫ d x

Essas antiderivadas são as de potência:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 ,     s e   n ≠ 1

Primeiro, vamos escrever as duas frações como potências:

∫ x 3 d x + 3 ∫ x 2 d x - 2 ∫ x d x - 6 ∫ d x = x 4 4 + 3 x 3 3 - 2 x 2 2 - 6 x + C =

x 4 4 + x 3 - x 2 - 6 x + C

Passo 3

Usando o segundo teorema fundamental do calculo:

∫ - 1 5 x 3 + 3 x 2 - 2 x - 6 d x = x 4 4 + x 3 - x 2 - 6 x - 1 5 = 5 4 4 + 5 3 - 5 2 - 6 . 5 - - 1 4 4 + - 1 3 - - 1 2 - 6 - 1 =

625 4 + 125 - 25 - 30 - 1 4 + 1 + 1 - 6 = 156 + 100 - 28 - 6 = 222

Resposta

Letra a

223

Letra b

222

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Calcule a integral definida por dois métodos: a ) use a fórmula prismoidal dada no exercício 44 ; b ) use o segundo teorema fundamental do Cálculo ∫ 2 6 2 x 3 - 2 x - 3 d x