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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.8 - Ex. 55

A integral

∫ 0 ∞ 1 x 1 + x d x

é imprópria por duas razões: o intervalo 0 , ∞ é infinito e o integrando tem uma descontinuidade infinita em 0 . Calcule-a expressando-a como uma soma de integrais impróprias do Tipo 2 e do Tipo 1 , como a seguir:

∫ 0 ∞ 1 x 1 + x d x = ∫ 0 1 1 x 1 + x d x + ∫ 1 ∞ 1 x 1 + x d x

Passo 1

Para calcular a primeira integral vamos usar a Definição de uma Integral Imprópria do Tipo 2 (b), pois ela é contínua em 0,1 e descontínua em 0 :

∫ 0 1 1 x 1 + x d x = lim t → 0 ⁺ ⁡ ∫ t 1 1 x 1 + x d x

E para calcular a segunda integral vamos usar a Definição de uma Integral Imprópria do Tipo 1:

∫ 1 ∞ 1 x 1 + x d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t 1 x 1 + x d x

Passo 2

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Vamos fazer uma Substituição:

u = x → x = u 2

Derivando:

d x =   2 u   d u

Substituindo temos:

∫ 1 x 1 + x d x = ∫ 1 u 1 + u 2 2 u d u = ∫ 1 2 1 + u 2 d u

É fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ d x x 2 + a 2 = 1 a tg - 1 ⁡ x a + C

Vamos agora calcular:

∫ 1 2 1 + u 2 d u = 2 ∫ 1 1 + u 2 d u = 2 1 1 tg - 1 ⁡ u 1 + C = 2 tg - 1 ⁡ u + C = 2 tg - 1 ⁡ x + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos voltar agora a expressão original:

∫ 0 ∞ 1 x 1 + x d x = ∫ 0 1 1 x 1 + x d x + ∫ 1 ∞ 1 x 1 + x d x = lim t → 0 ⁺ ⁡ ∫ t 1 1 x 1 + x d x + lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t 1 x 1 + x d x = lim t → 0 ⁺ ⁡ 2 tg - 1 ⁡ x t 1 + lim t → ∞ ⁡ 2 tg - 1 ⁡ x 1 t = lim t → 0 ⁺ ⁡ 2 tg - 1 ⁡ 1 - 2 tg - 1 ⁡ t + lim t → ∞ ⁡ 2 tg - 1 ⁡ t - 2 tg - 1 ⁡ 1 = lim t → 0 ⁺ ⁡ 2 π 4 - 2 tg - 1 ⁡ t + lim t → ∞ ⁡ 2 tg - 1 ⁡ t - 2 π 4 = 2 π 4 - 2 . 0 + 2 π 2 - 2 π 4 = π 2 + π - π 2 = π

Resposta

∫ 0 ∞ 1 x 1 + x d x = π

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Suponha f contínua em ] a , b [ e não-limitada em ] a , c ] e [ c , b [ . Defina ∫ a b f x d x .
Calculea)∫ 0 2 1 x - 1 3d x
Calculeb)∫ - 1 1 1 | x |d x
É convergente ou divergente? Justifique. ∫ 2 ∞ 1 x 4 + 2 x + 1 3d x
Utilizando o exercício 2, estude a convergência ou a divergência de cada uma das integrais a seguir. ∫ 1 ∞ 2 x 3 + x 2 + 1 x 5 + x + 2d x