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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.4 - Ex. 3c

Utilizando o exercício 2, estude a convergência ou a divergência de cada uma das integrais a seguir.

∫ 1 ∞ 2 x 3 + x 2 + 1 x 5 + x + 2   d x

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a integral imprópria converge ou diverge usando o resultado do exercício 2. Este resultado basicamente diz que se quisermos estudar a convergência de uma integral do tipo

∫ a ∞ f x   d x

em que f pode ser escrita como

f x = 1 x α   g x ,

com

lim x → ∞ ⁡ g x = L > 0 ,

segue que se α > 1 , a integral de f converge. Caso contrário, ela diverge. Esse critério é bem prático pois fugimos de qualquer comparação ou integral: basta fazer um limite!

Neste caso, temos

f x = 2 x 3 + x 2 + 1 x 5 + x + 2 = x 3 x 5 ⋅ 2 + 1 x + 1 x 3 1 + 1 x 4 + 2 x 5 = 1 x 2 ⋅ 2 + 1 x + 1 x 3 1 + 1 x 4 + 2 x 5

Passo 2

Assim, vemos que α = 2 e

g x = 2 + 1 x + 1 x 3 1 + 1 x 4 + 2 x 5

Note que

lim x → ∞ ⁡ g ( x ) = 2 + 0 + 0 1 + 0 + 0 = 2 > 0

Portanto, todas as condições do exercício 2 estão sendo satisfeitas. Como α = 2 > 1 , a integral converge.

Resposta

Converge.

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Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aquelas que são convergentes. ∫ 0 3 1 x ⋅ x d x
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Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aquela integrais que são convergentes. ∫ - 1 1 e x e x - 1d x
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aquela integrais que são convergentes. ∫ 1 9 1 x - 9 3d x
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aquelas integrais que são convergentes. ∫ 0 2 x - 3 2 x - 3d x