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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.3 - Ex. 5a

  1. Calcule

a) int_0^2 (1)/(root(3)(x - 1)) d x

Passo 1

Queremos calcular a seguinte integral:

I = int_0^2 (1)/(root(3)(x - 1)) d x

Como nossa função é descontínua em x = 1 , vamos fazer o seguinte:

I = underset(t -> 1)(lim) int_0^t (1)/(root(3)(x - 1)) d x + underset(t -> 1)(lim) int_t^2 (1)/(root(3)(x - 1)) d x

Nesse caso, temos que fazer essa brincadeira de dividr em dois termos e usar underset(t -> 1)(l i m) para não termos o problema do denominador zerar. Beleza?!

Passo 2

Então, vamos resolver a integral entre pontos genéricos a e b e deposi voltamos para expressão do Passo 1.

J = int_a^b (1)/(root(3)(x - 1)) d x

Para isso, vamos fazer a seguinte substituição de variável:

u = x - 1

Derivando,

d u = d x

Como fizemos uma substituição, temos que mudar os limites de integração. Assim,

x = a -> u = a - 1

x = b -> u = b - 1

Então nossa integral fica o seguinte:

J = int_(a - 1)^(b - 1) (1)/(root(3)(u)) d u

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1

J = (u^(- (1)/(3) + 1))/(- (1)/(3) + 1) |_(a - 1)^(b - 1)

Portanto,

J = (2)/(3) xx ((b - 1)^((2)/(3)) - (a - 1)^((2)/(3)))

Passo 3

Voltando para expressão do Passo 1:

I = underset(t -> 1)(lim) int_0^t (1)/(root(3)(x - 1)) d x + underset(t -> 1)(lim) int_t^2 (1)/(root(3)(x - 1)) d x

Usando o resultado do Passo 2:

I = underset(t -> 1)(l i m) ((2)/(3) xx ((t - 1)^((2)/(3)) - (0 - 1)^((2)/(3)))) + underset(t -> 1)(l i m) ((2)/(3) xx ((2 - 1)^((2)/(3)) - (t - 1)^((2)/(3))))

Assim,

I = (2)/(3) xx ((1 - 1)^((2)/(3)) - (0 - 1)^((2)/(3))) + (2)/(3) xx ((2 - 1)^((2)/(3)) - (1 - 1)^((2)/(3)))

Fazendo as contas:

I = 0

Resposta

int_0^2 (1)/(root(3)(x - 1)) d x = 0

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Esboce o gráfico da função F dada porf) F (x) = int_(- 5)^x f (t) d t ondef (t) = {[[0 s e |t| = 1],[t^2 s e |t|1]])
Seja F(x) = ∫ 0 x f t d to n d ef t ={ 2 t s e t≥1 t 2 s e t1 Verifique que F'(x) = f(x) em todo x em que f for contínua.F é derivável em x = 1?