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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.3 - Ex. 5b

  1. Calcule

b) int_(- 1)^1 (1)/(| x |) d x

Passo 1

Queremos calcular a seguinte integral:

I = int_(- 1)^1 (1)/(| x |) d x

Como nossa função é descontínua em x = 0 , vamos fazer o seguinte:

I = underset(t -> 0)(lim) int_(- 1)^t (1)/(| x |) d x + underset(t -> 0)(lim) int_t^1 (1)/(| x |) d x

Nesse caso, temos que fazer essa brincadeira de dividir em dois termos e usar underset(t -> 0)(l i m) para não termos o problema do denominador zerar. Beleza?!

Passo 2

Agora vamos resolver a integral. O primeiro termo fica o seguinte:

I_1 = int_(- 1)^t (1)/(|x|) d x

Como estamos com valores negativos de x :

I_1 = int_(- 1)^t - (1)/(x) d x

Não esquece: int (1)/(x) d x = ln |x| + c

I_1 = [- 1 xx ln ( x )]_(- 1)^t

Assim,

I_1 = ln (- 1) - ln (t)

Pra finalizar essa parte, vamos calcular o seguinte:

underset(t -> 0)(lim) int_(- 1)^t (1)/(|x|) d x = underset(t -> 0)(l i m) [ln (- 1) - ln (t)] = ln (- 1) - ln (0)

Portanto,

underset(t -> 0)(lim) int_(- 1)^t (1)/(|x|) d x = oo

Passo 3

O segundo caso é bem parecido, olha só:

I_2 = int_t^1 (1)/(|x|) d x

Como estamos com valores positivos de x :

I_2 = int_t^1 (1)/(x) d x

Usando o lembrete ali de cima:

I_2 = [ln |x|]_t^1

Portanto,

I_2 = ln (t) - ln (1) = ln (t)

Agora vamos calcular o limite:

underset(t -> 0)(lim) int_t^1 (1)/(|x|) d x = underset(t -> 0)(lim) [ln (t)] = ln (0)

Logo,

underset(t -> 0)(lim) int_t^1 (1)/(|x|) d x = - oo

Passo 4

Agora vamos juntar as coisas!

I = underset(t -> 0)(lim) int_(- 1)^t (1)/(| x |) d x + underset(t -> 0)(lim) int_t^1 (1)/(| x |) d x

Logo,

I = (oo) - (- oo) = 2 xx oo

Por fim,

I = oo

Resposta

int_(- 1)^1 (1)/(| x |) d x = oo

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Esboce o gráfico da função F dada pora) F (x) = int_0^x f (t) d t ondef (t) = {[[2 s e 0 = t1],[(1)/(t) s e t = 1]])