1. Calcule

b)   ∫ - 1 1 1 | x |   d x

Passo 1

Queremos calcular a seguinte integral:

I =   ∫ - 1 1 1 | x |   d x      

Como nossa função é descontínua em x = 0 , vamos fazer o seguinte:

I = lim t → 0 ⁡ ∫ - 1 t 1 | x |   d x + lim t → 0 ⁡ ∫ t 1 1 | x |   d x  

Nesse caso, temos que fazer essa brincadeira de dividir em dois termos e usar l i m t → 0 para não termos o problema do denominador zerar. Beleza?!

Passo 2

Agora vamos resolver a integral. O primeiro termo fica o seguinte:

I 1 = ∫ - 1 t 1 x   d x

Como estamos com valores negativos de x :

I 1 = ∫ - 1 t - 1 x   d x

Não esquece: ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + c

I 1 = - 1 × ln ⁡ ( x ) - 1 t

Assim,

I 1 = ln ⁡ - 1 - ln ⁡ t

Pra finalizar essa parte, vamos calcular o seguinte:

lim t → 0 ⁡ ∫ - 1 t 1 x   d x = l i m t → 0 ln ⁡ - 1 - ln ⁡ t = ln ⁡ - 1 - ln ⁡ 0

Portanto,

lim t → 0 ⁡ ∫ - 1 t 1 x   d x = ∞

Passo 3

O segundo caso é bem parecido, olha só:

I 2 = ∫ t 1 1 x   d x

Como estamos com valores positivos de x :

I 2 = ∫ t 1 1 x   d x

Usando o lembrete ali de cima:

I 2 = ln ⁡ x t 1

Portanto,

I 2 = ln ⁡ t - ln ⁡ 1 = ln ⁡ t

Agora vamos calcular o limite:

lim t → 0 ⁡ ∫ t 1 1 x   d x = lim t → 0 ⁡ ln ⁡ t = ln ⁡ 0

Logo,

lim t → 0 ⁡ ∫ t 1 1 x   d x = - ∞

Passo 4

Agora vamos juntar as coisas!

I = lim t → 0 ⁡ ∫ - 1 t 1 | x |   d x + lim t → 0 ⁡ ∫ t 1 1 | x |   d x    

Logo,

I = ∞ - - ∞ = 2 × ∞

Por fim,

I = ∞

Resposta

∫ - 1 1 1 | x |   d x = ∞

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