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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 36

Nos Exercícios 35-48, utilize uma substituição apropriada e, em seguida, uma substituição trigonométrica para calcular as integrais.

∫ ln ⁡ ( 3 / 4 ) ln ⁡ ( 4 / 3 ) e t d t 1 + e 2 t 3 / 2

Passo 1

A primeira coisa que precisamos fazer é uma mudança de variável.

u = e t

Derivando dos dois lados:

d u = e t d t

Agora precisamos transformar os limites superior e inferior para a nova variável:

t = ln ⁡ ( 3 / 4 ) → u = e ln ⁡ ( 3 / 4 ) = 3 / 4

t = ln ⁡ ( 4 / 3 ) → u = e ln ⁡ ( 4 / 3 ) = 4 / 3

Passo 2

Substituindo na integral:

∫ ln ⁡ ( 3 / 4 ) ln ⁡ ( 4 / 3 ) e t d t 1 + e 2 t 3 / 2 = ∫ 3 / 4 4 / 3 d u 1 + u 2 3 / 2

Agora, precisamos fazer uma nova mudança de variável:

u = tan ⁡ θ

Derivando dos dois lados:

d u = sec 2 ⁡ θ d θ

Transformando os limites superior e inferior para a nova variável:

u = 3 / 4 → θ = arctan ⁡ 3 / 4

u = 4 / 3 → θ = arctan ⁡ 4 / 3

Passo 3

Colocando na integral:

∫ 3 / 4 4 / 3 d u 1 + u 2 3 / 2 = ∫ arctan ⁡ 3 / 4 arctan ⁡ 4 / 3 sec 2 ⁡ θ d θ 1 + tan 2 ⁡ θ 3 / 2

Lembrando da relação fundamental da trigonometria:

sec 2 ⁡ θ = tan 2 ⁡ θ + 1

Assim,

∫ arctan ⁡ 3 / 4 arctan ⁡ 4 / 3 sec 2 ⁡ θ d θ sec 2 ⁡ θ 3 / 2   = ∫ arctan ⁡ 3 / 4 arctan ⁡ 4 / 3 sec 2 ⁡ θ d θ sec 3 ⁡ θ = ∫ arctan ⁡ 3 / 4 arctan ⁡ 4 / 3 1 sec ⁡ θ d θ

Passo 4

Calculando a integral:

∫ arctan ⁡ 3 / 4 arctan ⁡ 4 / 3 1 sec ⁡ θ d θ = ∫ arctan ⁡ 3 / 4 arctan ⁡ 4 / 3 cos ⁡ θ d θ = sin ⁡ θ arctan ⁡ 3 / 4 arctan ⁡ 4 / 3 = 4 3 1 + 4 3 2 1 + 4 3 2 - 3 4 1 + 3 4 2 1 + 3 4 2

4 3 1 + 16 9 1 + 16 9 - 3 4 1 + 9 16 1 + 9 16 = 4 / 3 25 / 9 25 / 9 - 3 / 4 25 / 16 25 / 16 = 4 / 3 25 / 9 25 / 9 - 3 / 4 25 / 16 25 / 16

4 3 ∙ 9 25 ∙ 5 3 - 3 4 ∙ 16 25 ∙ 5 4 = 4 5 - 3 5 = 1 5

Resposta

1 / 5

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Calcule a integral.1 2 . int_0^2 (d t)/(sqrt(4 + t^2))
Calcule a integral.2 4 . int_0^1 sqrt(x - x^2) d x
Calcule a integral.25 . int x^2 sqrt(3 + 2 x - x^2)
Use as entradas indicadas na Tabela de Integrais nas Paginas de Referencia para resolver a integral. ∫ x 3 arcsin ⁡ x 2 d x
Use as entradas indicadas na Tabela de Integrais nas Paginas de Referencia para resolver a integral. ∫ arctan ⁡ x x d x