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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 34

Encontre funções potenciais para os campos nos Exercícios 33 e 34.

34. F = z cos ⁡ x z i + e y j + x cos ⁡ x z k .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos assumir que existe uma função escalar f tal que F = ∇ f , então

∂ f ∂ x = z cos ⁡ ( x z )   ( 1 )

∂ f ∂ y = e y     ( 2 )

∂ f ∂ z = x cos ⁡ ( x z )     ( 3 )

Da equação (3), nós temos que

∂ f ∂ z = x cos ⁡ ( x z ) → f = ∫ x cos ⁡ ( x z )   d y → f = sen ⁡ x z + C 1 ( x , y )

Onde C 1 ( x , y ) não depende de z . Usando esse resultado na equação (1), temos que

∂ f ∂ z = z cos ⁡ ( x z ) → ∂ ∂ z cos ⁡ ( x z ) + C 1 x , z = z cos ⁡ ( x z )

Desenvolvendo os termos

z cos ⁡ ( x z ) + ∂ C 1 ∂ x = z cos ⁡ ( x z )

Com isso,

∂ C 1 ∂ x = 0 → C 1 = C 1 ( y )

Passo 2

Temos que C 2 é uma função da variável y , portanto não depende de x . Finalmente, considerando este resultado na equação (2), nós temos que

∂ f ∂ y = e y → ∂ ∂ y sen ⁡ ( x z ) + C 1 y = e y

Desenvolvendo os termos

∂ C 1 ∂ y = e y → C 1 y = e y + C

Onde C é uma constante real. Tendo C = 0 , nós temos que

f x , y , z = sen ⁡ ( x z ) + e y

Com isso, temos uma função potencial para F .

Resposta

f x , y , z = sen ⁡ ( x z ) + e y

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