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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 43

43. Calcule a integral

int_0^((pi)/(2)) csc 5 t cos 10 t d t

Passo 1

Show de bicicletinhas galera, primeiro de tudo, podemos simplificar essa integral chamando 5 t de u , desse jeitinho ó:

u = 5 t

d u = 5 d t => d t = (d u)/(5)

Substituindo esse resultado na integral temos:

int csc 5 t cos 10 t d t = (1)/(5) int csc u cos 2 u d u

Dado que csc u = (1)/(sin u) , temos então:

int csc u cos 2 u d u = int (cos 2 u)/(sin u) d u

E com toda sagacidade do mundo, lembramos que:

cos 2 u = 1 - sin ² u

E substituindo isso na integral temos:

int (cos 2 u)/(sin u) d u = int (1 - sin ² u)/(sin u) d u = int (1)/(sin u) - sin u d u = int csc u - sin u d u

Passo 2

Agora começou a ficar show de bola né, temos então que integrar

int csc u - sin u d u

E essas duas integrais são primitivas conhecidas da gente né não, elas são:

int csc u d u = ln |tan ((u)/(2))|

int sin u d u = cos u

Portanto:

int csc u - sin u d u = ln |tan ((u)/(2))| - cos u

Substituindo o valor de u :

ln |tan ((u)/(2))| - cos u = ln |tan ((5 t)/(2))| - cos 5 t

Passo 3

Aplicando agora o intervalo de integração, vamos obter:

((ln |tan ((5 t)/(2))| - cos 5 t)|_0^(pi // 2)

(ln |tan 5 pi| - cos (5 pi)/(2)) - (ln |tan 0| - cos 0)

(ln 0 - 0) - (ln 0 - 1)

MAASS, ln 0 = - oo , o que é um inderteminaçã, quer dizer então que nossa integral diverge, ou seja, não existe um resultado real.

int_0^((pi)/(2)) csc 5 t cos 10 t d t = ∄

**O gabarito do livro está equivocado!

Resposta

int_0^((pi)/(2)) csc 5 t cos 10 t d t = ∄

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