43. Calcule a integral

∫ 0 π 2 csc ⁡ 5 t cos ⁡ 10 t   d t

Passo 1

Show de bicicletinhas galera, primeiro de tudo, podemos simplificar essa integral chamando 5 t de u , desse jeitinho ó:

u = 5 t

d u = 5   d t ⇒ d t = d u 5

Substituindo esse resultado na integral temos:

∫ csc ⁡ 5 t cos ⁡ 10 t   d t = 1 5 ∫ csc ⁡ u cos ⁡ 2 u   d u

Dado que csc ⁡ u = 1 sin ⁡ u   , temos então:

∫ csc ⁡ u cos ⁡ 2 u   d u = ∫ cos ⁡ 2 u sin ⁡ u   d u

E com toda sagacidade do mundo, lembramos que:

cos ⁡ 2 u = 1 - sin ² ⁡ u

E substituindo isso na integral temos:

∫ cos ⁡ 2 u sin ⁡ u   d u = ∫ 1 - sin ² ⁡ u sin ⁡ u   d u = ∫ 1 sin ⁡ u - sin ⁡ u   d u = ∫ csc ⁡ u - sin ⁡ u   d u

Passo 2

Agora começou a ficar show de bola né, temos então que integrar

∫ csc ⁡ u - sin ⁡ u   d u

E essas duas integrais são primitivas conhecidas da gente né não, elas são:

∫ csc ⁡ u   d u = ln ⁡ tan ⁡ u 2  

∫ sin ⁡ u   d u = cos ⁡ u  

Portanto:

∫ csc ⁡ u - sin ⁡ u   d u = ln ⁡ tan ⁡ u 2 - cos ⁡ u

Substituindo o valor de u :

ln ⁡ tan ⁡ u 2 - cos ⁡ u = ln ⁡ tan ⁡ 5 t 2 - cos ⁡ 5 t

Passo 3

Aplicando agora o intervalo de integração, vamos obter:

ln ⁡ tan ⁡ 5 t 2 - cos ⁡ 5 t 0 π / 2

ln ⁡ tan ⁡ 5 π - cos ⁡ 5 π 2 - ln ⁡ tan ⁡ 0 - cos ⁡ 0

ln ⁡ 0 - 0 - ln ⁡ 0 - 1

MAASS, ln ⁡ 0 = - ∞ , o que é um inderteminaçã, quer dizer então que nossa integral diverge, ou seja, não existe um resultado real.

∫ 0 π 2 csc ⁡ 5 t cos ⁡ 10 t   d t = ∄

**O gabarito do livro está equivocado!

Resposta

∫ 0 π 2 csc ⁡ 5 t cos ⁡ 10 t   d t = ∄

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