A intensidade da iluminação em qualquer ponto de uma fonte de luz é proporcional ao quadrado da recíproca da distância entre o ponto e a fonte de luz.Duas luzes, uma tendo 8 vezes a intensidade da outra, estão 6 metros afastadas uma da outra. Qual é a distância da luz mais forte em que a iluminação total é mínima?

Enunciado

Vamos lá, chamando a distância de , o que ele disse da intensidade da iluminação é:

Isso que significa ser proporcional ao quadrado da recíproca. A recíproca é o inverso.

Com otemos duas fontes, a intensidade total vai ser:

Chamando de a distância da fonte , a distância da fonte para um ponto vai ser .

Então:

E ele disse que a intensidade de uma é vezes a da outra. Isso para distâncias iguais. Isso vai nos dizer que

Assim a intensidade total será:

Onde o vai se até

Para acharmos o valor de mínimo, temos que comparar o valor da função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo.

Começando por achar os pontos críticos:

Antes de derivarmos vamos escrever aquelas frações como potência:

Vamos derivar e achar:

Fazendo isso igual a

Vamos achar o valor da função nos pontos críticos e extremos do intervalo:

O menor valor dos é quando , então ele é o valor de mínimo.