Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.6 - Ex. 41
A intensidade da iluminação em qualquer ponto de uma fonte de luz é proporcional ao quadrado da recíproca da distância entre o ponto e a fonte de luz.
Duas luzes, uma tendo vezes a intensidade da outra, estão metros afastadas uma da outra. Qual é a distância da luz mais forte em que a iluminação total é mínima?
Passo 1
Vamos lá, chamando a distância de , o que ele disse da intensidade da iluminação é:
Isso que significa ser proporcional ao quadrado da recíproca. A recíproca é o inverso.
Com otemos duas fontes, a intensidade total vai ser:
Chamando de a distância da fonte , a distância da fonte para um ponto vai ser .
Então:
E
E ele disse que a intensidade de uma é vezes a da outra. Isso para distâncias iguais. Isso vai nos dizer que
Assim a intensidade total será:
Onde o vai se até
Passo 2
Para acharmos o valor de mínimo, temos que comparar o valor da função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo.
Começando por achar os pontos críticos:
Antes de derivarmos vamos escrever aquelas frações como potência:
Vamos derivar e achar:
Fazendo isso igual a
Passo 3
Vamos achar o valor da função nos pontos críticos e extremos do intervalo:
O menor valor dos é quando , então ele é o valor de mínimo.