Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.6 - Ex. 38
Jane está em um barco a remo a milhas da costa e deseja chegar a uma cidade litorânea que está a milhas em linha reta do ponto (na costa) mais próximo do barco. Ela pode remar a milhas por hora e caminhar a milhas por hora. Onde ela deve aportar para chegar À cidade no tempo mais curto possível?
Passo 1
Vamos chamar de a distância na costa de onde ela aporta o barco e onde ela está. Como na figura
Assim, a distância que ela vai remar, vai ser feita por Pitágoras, que vai ser:
Como está no desenho.
O tempo que ela vai levar para fazer cada parte é a divisão da distância pela velocidade que ela tem.
Vamos ter que o tempo total vai ser:
Aqui, vamos ter que vai de , que é quando ela rema em linha reta até a costa e , que é quando ela rema em linha reta até a vila.
Passo 2
Letra
Para achar o tempo mínimo, temos que achar o ponto de mínimo de .
Para isso, temos que ver se existe algum extremo no intervalo de e comparar com os extremos do intervalo.
Vamos começar achando a derivada:
Para derivar aquela raiz, vamos escrevê-la em forma de potência:
Asism, teremos:
Não podemos esquecer de derivar o termo dentro da potência, por conta da regra da cadeia.
Vamos ter:
Multiplicando cruzado:
Elevando ao quadrado:
Como é maior que , vamos pegar só
Passo 3
Agora, poderíamos verificar se ele é ponto de mínimo ou não. Mas aquela raiz vai ser bem ruim de trabalhar e a segunda derivada vai ser um porre. Então podemos antecipar isso e so comparar os extremos com esse valro de na função. O menor é o ponto de mínimo.
Vamos usar uma calculadora para ajudar as contas:
Então o ponto de mínimo é quando a distânciua for
Resposta
À milhas de distância, na costa, do ponto onde ela está