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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.5 - Ex. 24

24. Como você “removeria a descontinuidade” de f ? Em outras palavras, como você definiria f ( 2 ) no intuito de fazer f continua em 2?

f x = x 3 - 8 x 2 - 4

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos dá a seguinte função:

f x = x 3 - 8 x 2 - 4

E pede pra a gente “transformar” ela em uma função contínua em x = 2 . Lembrando que para uma função ser contínua temos que ter:

lim x → c ⁡ f x = f c

De fato percebemos que:

f x = x 3 - 8 x 2 - 4 = 8 - 8 4 - 4 = 0 0

Ou seja, a função aparentemente não é definida em x = 2 , dessa forma ela é descontínua. Reparou no “aparentemente”?! E se a gente tentasse manipular essa função pra remover esse denominador?!

Passo 2

Temos que:

f x = x 3 - 8 x 2 - 4

Podemos tentar fatorar essa função, lembrando que:

x + c x - c = x 2 - c 2

Assim:

x 2 - 4 = x + 2 x - 2

No numerador podemos lembrar que a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2 , então:

x 3 - 8 = x 3 - 2 3

x 3 - 2 3 = x - 2 x 2 + 2 x + 4

Podemos fazer mais! Repara que x 2 + 2 x + 4 é um quadrado perfeito, então:

x 2 + 2 x + 4 = x + 2

Portanto temos:

x 3 - 8 = x - 2 x + 2 2

Voltando pra nossa função inicial:

f x = x 3 - 8 x 2 - 4 = x - 2 x + 2 2 x + 2 x - 2 = x + 2

Passo 3

Agira vamos voltar pro limite e testar a “nova” função pra ver se deu certo:

lim x → 2 ⁡ x + 2 = 4

Aweeee, descontinuidade removida!

Resposta

Pra remover a descontinuidade devemos fatorar a função, removendo o denominador.

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35-36. Encontre os valores de x (se existirem) nos quais f não é contínua e determine se cada um desses valores é uma descontinuidade removível.35. (a) f x = x x (b) f x = x 2 + 3 x x + 3 (c) f x = x
35-36. Encontre os valores de x (se existirem) nos quais f não é contínua e determine se cada um desses valores é uma descontinuidade removível.36. (a) f x = x 2 - 4 x 3 - 8 (b) f x = 2 x - 3 , x ≤ 2
9-14 Determine onde f é contínua.9- f x = a r c s e n 2 x
9-14 Determine onde f é contínua.11- f x = ln ⁡ a r c t g x x 2 - 9
43-46 Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.43- Suponha que uma função f satisfaça f x + 5 ≤x + 1 Com qualquer número real x . Então lim x → - 1 ⁡ f ( x ) = - 5 .