24. Como você “removeria a descontinuidade” de f ? Em outras palavras, como você definiria f(2) no intuito de fazer f continua em 2?

f(x) = (x^3 - 8) / (x^2 - 4)

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos dá a seguinte função:

f x = x 3 - 8 x 2 - 4

E pede pra a gente “transformar” ela em uma função contínua em x = 2 . Lembrando que para uma função ser contínua temos que ter:

lim x → c ⁡ f x = f c

De fato percebemos que:

f x = x 3 - 8 x 2 - 4 = 8 - 8 4 - 4 = 0 0

Ou seja, a função aparentemente não é definida em x = 2 , dessa forma ela é descontínua. Reparou no “aparentemente”?! E se a gente tentasse manipular essa função pra remover esse denominador?!

Passo 2

Temos que:

f x = x 3 - 8 x 2 - 4

Podemos tentar fatorar essa função, lembrando que:

x + c x - c = x 2 - c 2

Assim:

x 2 - 4 = x + 2 x - 2

No numerador podemos lembrar que a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2 , então:

x 3 - 8 = x 3 - 2 3

x 3 - 2 3 = x - 2 x 2 + 2 x + 4

Podemos fazer mais! Repara que x 2 + 2 x + 4 é um quadrado perfeito, então:

x 2 + 2 x + 4 = x + 2

Portanto temos:

x 3 - 8 = x - 2 x + 2 2

Voltando pra nossa função inicial:

f x = x 3 - 8 x 2 - 4 = x - 2 x + 2 2 x + 2 x - 2 = x + 2

Passo 3

Agira vamos voltar pro limite e testar a “nova” função pra ver se deu certo:

lim x → 2 ⁡ x + 2 = 4

Aweeee, descontinuidade removida!

Resposta

Pra remover a descontinuidade devemos fatorar a função, removendo o denominador.

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