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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.Exercícios Práticos - Ex. 10b

Determine o limite ou explique porque ele não existe lim x → - 1 ⁡ x 2 + x x 5 + 2 x + x 3  

Passo 1

Observando o limite, dá pra perceber que vamos precisar de algumas regrinhas, então vamos já relembrando antes de iniciar, blz ?

Partiu ?

Para começar, vamos simplificar nossas contas, ou seja, vamos colocar x   em evidência no numerador e no x 3 denominador e então nossas contas ficam

lim x → - 1 ⁡ x 2 + x x 5 + 2 x + x 3 =     l i m x → - 1 x x + 1 x 3 ( x 2 + 2 x + 1 )  

Podemos cancelar termos em comum, deixando nossa conta da seguinte forma:

  ⁡     l i m x → - 1 x x + 1 x 3 ( x 2 + 2 x + 1 )   =     l i m x → - 1 x + 1 x 2 x + 1 x + 1 =   l i m x → - 1 1 x 2 x + 1 = 1 0

Passo 2

Nesse caso, o limite explode. Mas precisamos analisar se ∞ ou - ∞ .   Para isso, vamos olhar os limites laterais na penúltima igualdade somente, pra não precisar repetir as contas. Blz?

  • À esquerda de - 1 , temos

    • l i m x → - 1 - 1 x 2 x + 1 = 1 0

    Nesse caso estamos com números negativos, e menores que - 1 , o denominador é negativo, ou seja

    1 n e g a t i v o = p o s i t i v o n e g a t i v o = n e g a t i v o

    Então , l i m x → - 1 - 1 x 2 x + 1 = - ∞

  • À direita de - 1 , estamos com números maiores que ele , então o denominador é positivo, então

1 p o s i t i v o   = p o s i t i v o p o s i t i v o   = p o s i t i v o

Isso nos diz que

l i m x → 0 +   1 x 2 x + 1 = ∞

Sendo assim, lim x → - 1 ⁡ x 2 + x x 5 + 2 x + x 3   tal que x ≠ 0   e   x ≠ - 1 não existe.

Resposta

lim x → - 1 ⁡ x 2 + x x 5 + 2 x + x 3   tal que x ≠ 0   e   x ≠ - 1 não existe pois os limites laterais não coincidem.

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Prove que se f x = g x para todos os valores de x , exceto x = a , então se lim x → a ⁡ g x não existir, o lim x → a ⁡ f x também não existirá. (Sugestão: mostre que a hipótese de que lim x → a ⁡ f x
Prove que se f x = g x para todos os valores de x , exceto x = a , então lim x → a ⁡ f x = lim x → a ⁡ g x , se todos os limites existirem.
lim t → 1 ⁡ t 2 + 5 t + 3 4
lim y → 3 ⁡ y - 1 y + 5
lim y → 0 ⁡ y 2 - 1 3