Investigar as integrais impróprias.

Passo 1

Uma integral representa a área sob a curva da dada função que está como o integrando. A integral imprópria possui o mesmo ideal, no entanto ela é representada por uma área indefinida, visto que o intervalo de integração possui pelo menos um valor em que a função não está definida.

Por conta disso, a integral não pode ser resolvida diretamente, necessitando da aplicação de um limite e da substituição do intervalo de integração por um intervalo que conterá uma nova variável, esta que irá tender ao valor para o qual a função não é definida.

Quando o valor no qual isso ocorre é um número inteiro, deve-se verificar os limites laterais a esse ponto para verificar se o limite existe ou não.

Passo 2

Para os casos em que o intervalo de integração vai de - x a + x , deve-se dividir a integral original em duas integrais intermediárias separadas no valor em que a função não existe. Assim, ela resultará em:

I = int_(- 1)^1 (d x)/(x^2) = int_(- 1)^0 (d x)/(x^2) + int_0^1 (d x)/(x^2)

E, como a função é indefinida em zero, tem-se:

I = underset(a -> 0^-)(lim) int_(- 1)^a (d x)/(x^2) + underset(b -> 0^+)(l i m) int_b^1 (d x)/(x^2)

Resolvendo a integral diretamente, obtém-se:

int (d x)/(x^2) = - (1)/(x)

Retornando à variável original:

I = underset(a -> 0^-)(lim) [- (1)/(x)] | [[a],[-,1]] + underset(b -> 0^+)(l i m) [- (1)/(x)] | [[1],[b]]

Substituindo os limites de integração:

I = - underset(a -> 0^-)(lim) [(1)/(a) - (1)/((- 1))] - underset(b -> 0^+)(l i m) [(1)/(1) - (1)/(b)]

I = - [- oo + 1] - [1 - oo] = + oo

Passo 3

Ainda, dependendo do resultado da integral imprópria é possível tirar duas conclusões sobre o seu comportamento: caso o resultado seja um número inteiro, então o limite existe e a integral converge (é convergente); caso contrário e ela resulte em +- oo , o limite não existe e a integral diverge (é divergente).

Para este caso, o limite não existe e, logo, a integral é divergente.

Resposta

int_(- 1)^1 (d x)/(x^2) = + oo

A integral é divergente.

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