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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.6 - Ex. 40

  1. Investigue a família de funções polinomiais dada pela equação f x = 2 x 3 + c x 2 + 2 x . Para quais valores de c a curva tem pontos de mínimo?
  2. Mostre que os pontos de máximo e de mínimo para cada curva da família estão sobre a curva y = x - x ³ . Ilustre fazendo o gráfico dessa parábola e de vários membros da família.

Passo 1

  1. f ' x = 6 x 2 + 2 c x + 2 = 2 3 x 2 + c x + 1

    2. f ' x = 0 ↔ x = - c ± c 2 - 12 6

    Assim, f tem pontos críticos em c 2 - 12 ≥ 0 ↔ c ≥ 2 3

    Para x = ± 2 3 , f ' x ≥ 0 em ( - ∞ , ∞ ) , então f ' não muda o sinal até - c / 6 , e não há valor extremo.

    Se c 2 - 12 > 0 , então f ' muda de positivo para negativo em x = - c - c 2 - 12 6 e de negativo para positivo em x = - c + c 2 - 12 6 . Assim, f tem um máximo em x =   - c - c 2 - 12 6 e um mínimo local em x = - c + c 2 - 12 6 .

    Passo 2

  2. Digamos que x 0 é um número crítico para f ( x ) . Então, f ' x 0 = 0 → 2 x 0 2 + c x 0 + 1 = 0 ↔ c = - 1 - 3 x 0 2 x 0 . Assim,

f x 0 = 2 x 0 3 + c x 0 2 + 2 x 0 = 2 x 0 3 + x 0 2 - 1 - 3 x 0 2 x 0 + 2 x 0 = 2 x 0 3 - x 0 - 3 x 0 3 + 2 x 0

= x 0 - x 0 3

Então, o ponto é x 0 , y 0 = ( x 0 , x 0 - x 0 3 ) ; isto é, o ponto fica na curva y = x - x ³ .

Esboço do gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.y = x (x + 2)^3
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.y = 2 x^5 - 5 x^2 + 1
Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as condições dadas. f ' x0 para todo x ≠ 1 , assíntota vertical x = 1 , f ' ' x0 se x1 ou x3 , f ' ' x0 se 1x3
Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as condições dadas. f ' 0 = f ' 2 = f ' 4 = 0 , f ' x0 se x0 ou 2x4 , f ' x0 se 0x2 ou x4 , f ' ' x0 se 1x3 , f ' ' x0 se x1 ou x3
Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as condições dadas. f ' 1 = f ' - 1 = 0 , f ' x0 se x1 , f ' x0 se 1x2 , f ' x = - 1 se x2 , f ' ' x0 se - 2x0 E ponto de inflexão em 0,1