Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 26
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva:
Passo 1
Oiee, tudo certinho?
Nós temos a função
Para iniciar a questão vamos relembrar um pouco da teoria:
Domínio: Conjunto de todos os valores de para os quais a função é definida.
Interseções com os Eixos:
- Eixo : Onde
- Eixo : Onde ou seja,
Simetria:
- Função Par:
- Função Ímpar:
Assíntotas:
- Assíntotas Verticais: Linhas verticais onde a função cresce sem limites.
- Assíntotas Horizontais: Linhas horizontais que a função se aproxima conforme
Derivadas e Comportamento da Função:
- Primeira Derivada Para determinar onde a função é crescente ou decrescente.
- Segunda Derivada Para determinar a concavidade e pontos de inflexão.
Concavidade e Pontos de Inflex��o:
- Concavidade para cima:
- Concavidade para baixo:
- Pontos de Inflexão: Onde e muda de sinal.
Passo 2
Nosso primeiro passo é calcular o domínio. Nossa raiz precisa ser maior que zero, pois além de ser raiz, está na parte de baixo da fração, assim:
.
Não há interceptos.
, então temos uma função ímpar, e a curva é simétrica em relação à origem.
Temos que:
Além disso, temos:
Assim, em temo uma assíntota horizontal.
e
Então, em há uma assíntota vertical.
Passo 3
Encontrando os intervalos de crescimento e decrescimento:
é menor que zero em e .
Como a função apenas decresce, não há valores extremos.
Achando concavidades e pontos de inflexão por meio da derivada segunda:
Sendo assim, temos que em então é côncava para cima nesse intervalo, e em , então é côncava para baixo nessa parte.
Passo 4
Análise do Gráfico
- Domínio: A curva está definida para
- Interseções com os Eixos: Não há interseções com os eixosdentro do domínio da função.
- Simetria: A função é ímpar, então o gráfico é simétrico em relação à origem.
- Assíntotas Verticais: Existem assíntotas verticais em
- Assíntotas Horizontais: Existem assíntotas horizontais em
- Concavidade:
- Para a concavidade é para baixo.
- Para a concavidade é para cima.
O gráfico confirma as propriedades e características analisadas da função \
Mostrando seu comportamento dentro do domínio permitido.
Resposta
Vide o passo a passo.