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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.2 - Ex. 5

O isótopo radioativo de chumbo, Pb-209, decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente em qualquer tempo. Sua meia-vida é 3,3 horas. Se 1 grama de chumbo está presente inicialmente, quanto tempo levará para 90% de chumbo desaparecer?

Passo 1

Que interessante né? Agora vamos matar esse problema matematicamente falando

A primeira informação que vamos usar nesse exercício é que a quantidade decresce proporcionalmente à quantidade presente naquele momento

Então vamos chamar N 0 a quantidade naquele instante e d N d t a taxa de decrescimento da quantidade. Temos:

d N d t ∝ - N 0

Então

d N d t = - k . N 0   ( I )

Onde k é uma constante e o sinal de menos indica que ele está diminuindo

Isso é uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita como como d N d t + A t . N = B ( t ) , olha:

d N d t + k . N = 0

A solução de uma equação diferencial linear é dada por:

N ( t ) = 1 I t ∫ I t . B t   d t + c     ( I I )

Onde I y = e ∫ A y   d y

Na nossa equação ( I ) , temos A y = k e B y = 0 então:

I t = e ∫ k   d t

I t = e k t

Então temos nosso fator de integração.

Vamos substituir as informações que temos na equação ( I I ) :

N t = 1 e k t ∫ 0   d t + c

N t = 1 e - k t 0 + c

N t = c . e - k t

Sendo c = N 0

N t = N 0 . e - k t

Passo 2

Temos

N t = N 0 . e - k t

O enunciado fala que a meia vida dele é de 3,3   h o r a s , ou seja:

N 3,3 = N 0 2

Então:

N 0 2 = N 0 . e - k . 3,3

e - 3,3 k = 1 2

- 3,3 k = ln ⁡ 1 2

- 3,3 k = - ln ⁡ 2

k = ln ⁡ 2 3,3

Então a nossa equação é

N t = N 0 . e -   ln ⁡ 2 3,3 t

Passo 3

O enunciado fala pra gente que N 0 = 1   g r a m a , então:

N t = 1 . e -   ln ⁡ 2 3,3 t

E aí ele quer saber quanto tempo demora pra 90% do chumbo desaparecer, então queremos

N t = 1 . 1 - 90 %

N t = 1 - 0.9

N t = 0,1

Substituindo:

0,1 = e -   ln ⁡ 2 3,3 t

-   ln ⁡ 2 3,3 t = ln ⁡ 0.1

t = - 3,3 . ln ⁡ 0.1 ln ⁡ 2

Então, para 90% do chumbo desaparecer, o tempo levado é

t ≅ 10,9   h o r a s

Resposta

t ≅ 10,9   h o r a s

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