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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 1.3 - Ex. 20

Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.

f x = x 2 + x ( 1 - x ) 3

Passo 1

Antes de começarmos a procurar a série de potência de f x = x 2 + x ( 1 - x ) 3 , vamos encontrar a série de potência para 1 1 - x 3 .

1 1 - x 2 = 1 + 2 x + 3 x 2 + … =   ∑ n = 1 ∞ n x n - 1 = ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) x n

Para aparecer o denominador elvado ao cubo, vamos derivar uma vez esta expressão:

d d x 1 1 - x 2 = d d x ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) x n

2 1 - x 3 = ∑ n = 1 ∞ n + 1 n x n - 1

Passo 2

Desta forma a série de potência da função   f x = x 2 + x ( 1 - x ) 3 é:

f x = x 2 + x ( 1 - x ) 3 = 2 2 x ² ( 1 - x ) 3 + 2 2 x ( 1 - x ) 3

f x = x 2 2 ∑ n = 1 ∞ n + 1 n x n - 1 + x 2 ∑ n = 1 ∞ n + 1 n x n - 1

f x = ∑ n = 1 ∞ n + 1 n x n + 1 2 + ∑ n = 1 ∞ n + 1 n x n 2

f x = ∑ n = 1 ∞ n + 1 n x n 2 + ∑ n = 1 ∞ n + 1 n x n 2

f x = ∑ n = 1 ∞ n ² x n

Passo 3

Calculando o raio de convergência:

R = lim n → ∞ ⁡ c n c n + 1 = lim n → ∞ ⁡ n ² ( n + 1 ) ² = lim n → ∞ ⁡ n ² n 2 + 2 n + 1  

R = lim n → ∞ ⁡ n ² n ² ( 1 + 2 n + 1 n 2 ) = 1

Resposta

f x = x 2 + x ( 1 - x ) 3 = ∑ n = 1 ∞ n ² x n

Raio de convergência: R = 1

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