Calcule:

lim x→1 (x^1000 - 1) / (x - 1)

Passo 1

Fala povo, tudo certo?

O limite que temos que calcular é:

underset(x -> 1)(l i m) (x^(1000 ) - 1)/(x - 1)

Pô, esse limite tem uma cara engraçada, afinal temos uma diferença em cima e outra em baixo.

Isso lembra um pouco a definição de derivada, né?

f^' (x) = underset(Delta x -> 0)(l i m) (f (x + Delta x) - f (x))/(Delta x)

Será então que eles são iguais?

Bora ver! 😊

Passo 2

Pra serem iguais, tem que ser comparáveis! Portanto, como existe um termo x^(1000 ) no numerador, vamos tentar escolher:

f (x) = x^(1000)

Pela definição de derivada, ficamos com:

(x^(1000 ))^' = underset(Delta x -> 0)(l i m) ((x + Delta x)^(1000 ) - x^(1000 ))/(Delta x)

1000 * x^(999) = underset(Delta x -> 0)(l i m) ((x + Delta x)^(1000 ) - x^(1000 ))/(Delta x)

Ok ok, mas como isso ajuda a gente? Saca só, o limite do enunciado não é x -> 1 ? O que acontece se substituirmos x = 1 dentro da equação?

1000 * (1)^(999) = underset(Delta x -> 0)(l i m) ((1 + Delta x)^(1000 ) - (1)^(1000 ))/(Delta x)

1000 = underset(Delta x -> 0)(l i m) ((1 + Delta x)^(1000 ) - 1)/(Delta x)

E se substituirmos:

Delta x = x - 1

Ficamos com:

1000 = underset(x - 1 -> 0)(l i m) ((1 + x - 1)^(1000 ) - 1)/(x - 1)

1000 = underset(x -> 1)(l i m) (x^(1000 ) - 1)/(x - 1)

Opa! Limite do enunciado encontrado!

Loucura, né? O que achou? Responde Aí! 😇

Resposta

underset(x -> 1)(l i m) (x^(1000 ) - 1)/(x - 1) = 1000

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