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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.6 - Ex. 3

int (1)/(16 x^4 - 1) d x

Passo 1

Vamos arranjar a equação de forma mais conveniente para resolver as frações parcias. Esse passo é feito manipulando as funções, fazendo que ela fique de forma mais agradável para gente, geralmente usamos as raízes para reescrever as equações.

int (1)/(( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) ( 4 x^2 + 1 )) d x

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

(1)/(( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) ( 4 x^2 + 1 )) = (A (8 x) + B)/((4 x^2 + 1)) + (C)/(( 2 x - 1 )) + (D)/(( 2 x + 1 ))

Isolando 1 , vamos achar

1 = (A (8 x) + B) (2 x - 1) (2 x + 1) + C (2 x + 1) (4 x^2 + 1) + D ( 2 x - 1 ) ( 4 x^2 + 1 )

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = 0 ; B = - (1)/(2) ; C = (1)/(4) ; D = - (1)/(4) ;

Agora substituindo os valores de A e B temos:

(1)/(( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) ( 4 x^2 + 1 )) = (- (1)/(2))/((4 x^2 + 1)) + ((1)/(4))/(( 2 x - 1 )) + (- (1)/(4))/(( 2 x - 1 ))

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

int (1)/(( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) ( 4 x^2 + 1 )) d x = int (- (1)/(2))/((4 x^2 + 1)) d x + int ((1)/(4))/(( 2 x - 1 )) d x + int (- (1)/(4))/(( 2 x - 1 )) d x

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

Resposta

int (1)/(16 x^4 - 1) d x = (1)/(8) (- 2 t a n^(- 1) ( 2 x ) + ln |1 - 2 x| - ln |1 + 2 x|) + c

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