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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.6 - Ex. 10

int (x + 3)/(4 x^4 + 4 x^3 + x^2) d x

Passo 1

Vamos arranjar a equação de forma mais conveniente para resolver as frações parcias. Esse passo é feito manipulando as funções, fazendo que ela fique de forma mais agradável para gente, geralmente usamos as raízes para reescrever as equações.

int (x + 3)/(x^2 ( 2 x + 1 )^2) d x

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

(x + 3)/(x^2 ( 2 x + 1 )^2) = (A)/(x^2) + (B)/(x) + (C)/(( 2 x + 1 )^2) + (D)/(( 2 x + 1 ))

Isolando x + 3 , vamos achar

x + 3 = A ( 2 x + 1 )^2 + B x ( 2 x + 1 )^2 + C x^2 + D x^2 ( 2 x + 1 )

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = 3 ; B = - 11 ; C = 10 ; D = 22 ;

Agora substituindo os valores de A e B temos:

(x + 3)/(x^2 ( 2 x + 1 )^2) = (3)/(x^2) + (- 11)/(x) + (10)/(( 2 x + 1 )^2) + (22)/(( 2 x + 1 ))

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

int (x + 3)/(x^2 ( 2 x + 1 )^2) d x = int (3)/(x^2) d x + int (- 11)/(x) d x + int (10)/(( 2 x + 1 )^2) d x + int (22)/(( 2 x + 1 )) d x

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

Resposta

int (x + 3)/(x^2 ( 2 x + 1 )^2) d x = - (3)/(x) - (5)/(1 + 2 x) - 11 l n (x) + 11 l n (1 + 2 x) + c

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