Use as propriedades das integrais, junto com os exercícios 27 e 28 , para demonstrar a desigualdade.

∫ 0 π 2 x sen ⁡ x   d x ≤ π 2 8

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema queremos mostrar que a desigualdade

∫ 0 π 2 x sen ⁡ x   d x ≤ π 2 8

É valida.

Tem ideia de como fazemos isso?

Sabemos que em 0 ≤ x ≤ π 2 o seno respeita 0 ≤ sen ⁡ x ≤ 1 .

Se multiplicarmos a última inequação por x de modo que se x ≥ 0 , não temos problema com o sinal, obtemos:

0 ≤ x sen ⁡ x ≤ x

Vamos usar essas informações a nosso favor.

Veja só!

Passo 2

Então se x sen ⁡ x ≤ x , podemos aplicar a integração:

x sen ⁡ x ≤ x

∫ 0 π 2 x sen ⁡ x   d x ≤ ∫ 0 π 2 x   d x

Calculando a integral no lado direito

∫ 0 π 2 x sen ⁡ x   d x ≤ x 2 2 0 π 2

∫ 0 π 2 x sen ⁡ x   d x ≤ π 2 2 2 = π 2 π 2 1 2

∫ 0 π 2 x sen ⁡ x   d x ≤ π 2 8

E assim, demonstramos que ∫ 0 π 2 x sen ⁡ x   d x ≤ π 2 8 .

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

∫ 0 π 2 x sen ⁡ x   d x ≤ π 2 8

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