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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 34

Encontre a área da região delimitada pelas curvas y = x - 3 ( x 3 + x 2 ) , y = 0 , x = 1 e x = 2 .

Passo 1

Bom galera, vamos começar montando nossa integral, fica assim:

∫ 1 2 x - 3 x 3 + x 2 - 0 d x

Passo 2

Belezinha, agora a gente pode separar a nossa função usando frações parciais:

x - 3 x 3 + x 2 = x - 3 x 2 ( x + 1 )

= A x + B x 2 + C x + 1

Então, calculamos os valores de A , B e C :

x - 3 = x x + 1 A + x + 1 B + x 2 C

x - 3 = x 2 A + C + x A + B + B

Logo, temos:

A + C = 0 A + B = 1 B = 3

Assim encontramos:

A = - 4

B = 3

C = 4

Passo 3

Por fim, a gente integra nossa função já separada:

∫ 1 2 - 4 x + 3 x 2 + 4 x - 1 d x

= - 4 ln ⁡ x - 3 x + 4 ln ⁡ x + 1 1 2

= - 4 ln ⁡ 2 - 3 2 + 4 ln ⁡ 3 + 4 ln ⁡ 1 + 3 - 4 ln ⁡ 2

= 3 2 - 8 ln ⁡ 2 + 4 ln ⁡ 3

= 3 2 + 4 ln ⁡ 3 4

Resposta

3 2 + 4 ln ⁡ 3 4

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