Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite.

lim x → 10 ⁡ 3 - 4 5 x = - 5

Passo 1

Fala aí pessoal!

A gente tem que demonstrar que:

lim x → 10 ⁡ 3 - 4 5 x = - 5

Então vamos relembrar da definição de limite:

Calma, não se assusta com essa coisa difícil!

Na prática, você só precisa dessas duas inequações que aparecem ali dentro da caixinha rosa:

se 0 < x - a < δ então f x - L < ε

Vamos aplicar isso na nossa expressão:

lim x → 10 ⁡ 3 - 4 5 x = - 5

se 0 < x - 1 0 < δ então 3 - 4 5 x - ( - 5 ) < ε

A estratégia é a seguinte, vamos sempre partir da inequação onde aparece o ε , e vamos mexer nela até aparecer algo parecido com

0 < x - a < δ

Assim vamos definir um δ > 0 que atenda essas condições!

Passo 2

3 - 4 5 x - - 5 < ε

Arrumando dentro do módulo:

8 - 4 5 x < ϵ

Isto é,

40 - 4 x 5 < ϵ

Colocando o fator 4 / 5 em evidencia:

4 5 ⋅ 10 - x < ϵ

Que é a mesma coisa que:

4 5 ⋅ x - 10 < ϵ

Por fim, temos:

x - 10 < 5 4 ϵ

ATENÇÃO AGORA! Olha como isso ficou parecido com a outra inequação:

0 < x - 1 0 < δ

Então, basta pegarmos o δ = 5 4 ϵ que iremos satisfazer a definição.

Passo 3

Agora vamos testar:

x - 10 > δ

Então

3 - 4 5 x - - 5 < ϵ

Assim,

lim x → 10 ⁡ 3 - 4 5 x = - 5

Resposta

Demonstração!

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