Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite.

21. lim x → 2 ⁡ x 2 + x - 6 x - 2 = 5

Passo 1

Então meu amigo, vamos resolver essa atividade de limite. Aqui a gente vai utilizar a definição formal de limite para provarmos o limite dado.

Utilizar a definição formal nunca é fácil, mas sei que iremos conseguir.

Pra fazermos essa, temos que lembrarmos da definição de limite, olha só:

lim x → a ⁡ f x = L

Se para todo número ϵ > 0 houver um número δ > 0 tal que:

Se 0 < x - a < δ então f x - L < ϵ

Basicamente a definição formal diz que, se meu x está a uma distância δ de a , então minha função estará a uma distância ϵ do seu limite L .

Passo 2

Dado um ϵ > 0 , precisamos de um número δ > 0 que dependa de ϵ , pois a distancias são dependentes umas das outras:

x - 2 > δ

então

x 2 + x - 6 x - 2 - 5 < ϵ

Vamos olhar para o seguinte:

x 2 + x - 6 x - 2 - 5 < ϵ

Primeiro vamos começar fatorando essa fração. No denominador temos o seguinte:

x 2 + x - 6

Resolvendo a equação do segundo grau, vemos que as raízes são:

Δ = 1 - 4 1 - 6

Δ = 25

x = - 1 ± 5 2 ( 1 )

x 1 = 2

x 2 = - 3

Assim,

x 2 + x - 6 x - 2 = x - 2 x + 3 x - 2

Como x ≠ 2 :

x 2 + x - 6 x - 2 = x + 3

Nossa inequação era o seguinte:

x 2 + x - 6 x - 2 - 5 < ϵ

E vai ficar assim ó:

x + 3 - 5 < ϵ

Logo,

x - 2 < ϵ

Passo 3

Então, basta pegarmos o δ = ϵ que iremos satisfazer a definição, pois eu tenho que

x - 2 > δ

E conseguimos demonstrar que

x - 2 < ϵ

Provamos então a relação entre δ e ϵ , e consequentemente provamos:

x - 2 > δ , então x 2 + x - 6 x - 2 - 5 < ϵ

Assim,

lim x → 2 ⁡ x 2 + x - 6 x - 2 = 5

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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