Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite.21. lim x → 2 ⁡ x 2 + x - 6 x - 2 = 5

Enunciado

Então meu amigo, vamos resolver essa atividade de limite. Aqui a gente vai utilizar a definição formal de limite para provarmos o limite dado.

Utilizar a definição formal nunca é fácil, mas sei que iremos conseguir.

Pra fazermos essa, temos que lembrarmos da definição de limite, olha só:

Se para todo número houver um número tal que:

Se então

Basicamente a definição formal diz que, se meu está a uma distância de , então minha função estará a uma distância do seu limite .

Dado um , precisamos de um número que dependa de , pois a distancias são dependentes umas das outras:

então

Vamos olhar para o seguinte:

Primeiro vamos começar fatorando essa fração. No denominador temos o seguinte:

Resolvendo a equação do segundo grau, vemos que as raízes são:

Assim,

Como :

Nossa inequação era o seguinte:

E vai ficar assim ó:

Logo,

Então, basta pegarmos o que iremos satisfazer a definição, pois eu tenho que

E conseguimos demonstrar que

Provamos então a relação entre e , e consequentemente provamos:

, então

Assim,

Ver o desenvolvimento.