Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.4 - Ex. 21
Demonstre cada afirmação usando a definição , de limite.
21.
Passo 1
Então meu amigo, vamos resolver essa atividade de limite. Aqui a gente vai utilizar a definição formal de limite para provarmos o limite dado.
Utilizar a definição formal nunca é fácil, mas sei que iremos conseguir.
Pra fazermos essa, temos que lembrarmos da definição de limite, olha só:
Se para todo número houver um número tal que:
Se então
Basicamente a definição formal diz que, se meu está a uma distância de , então minha função estará a uma distância do seu limite .
Passo 2
Dado um , precisamos de um número que dependa de , pois a distancias são dependentes umas das outras:
então
Vamos olhar para o seguinte:
Primeiro vamos começar fatorando essa fração. No denominador temos o seguinte:
Resolvendo a equação do segundo grau, vemos que as raízes são:
Assim,
Como :
Nossa inequação era o seguinte:
E vai ficar assim ó:
Logo,
Passo 3
Então, basta pegarmos o que iremos satisfazer a definição, pois eu tenho que
E conseguimos demonstrar que
Provamos então a relação entre e , e consequentemente provamos:
, então
Assim,
Resposta
Ver o desenvolvimento.