Enunciado

Suponha que f   e   g sejam duas funções tais que exista lim x → a  ⁡ f ( x ) e lim x → a  ⁡ f x + g x   . Use o Teorema 1.2.2 para provar que lim x → a  ⁡ g ( x )   existe.

Passo 1

Olá, tudo bem?

Bom, aqui a gente vai usar o teorema que nos diz que:

“O limite da soma é a soma dos limites”

Colocando matematicamente, é isso aqui:

lim x → a  ⁡ f x + g x   = lim x → a  ⁡ f ( x ) + lim x → a  ⁡ g ( x )  

Passo 2

Vamos lá, se a gente chamar:

lim x → a  ⁡ f x + g x   = L

E

lim x → a  ⁡ f ( x ) = L 1

Que são os dois limites que a questão afirmou que existem, pelo Teorema nós vamos ter:

L = L 1 + lim x → a  ⁡ g ( x )

Ou seja:

lim x → a  ⁡ g ( x ) = L - L 1

E daí, provamos que o limite existe! Prontinho😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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