22. lim x → - 3 2 ⁡ 9 - 4 x 2 3 + 2 x = 6

Passo 1

Pra fazermos essa, temos que lembrarmos da definição de limite, olha só:

lim x → a ⁡ f x = L

Se para todo número ϵ > 0 houver um número δ > 0 tal que:

Se 0 < x - a < δ então f x - L < ϵ

Passo 2

Dado um ϵ > 0 , precisamos de um número δ > 0 que dependa de ϵ tal que:

x - - 3 2 > δ , então 9 - 4 x 2 3 + 2 x - 6 < ϵ

Vamos olhar para o seguinte:

9 - 4 x 2 3 + 2 x - 6 < ϵ

Primeiro vamos começar fatorando essa fração. No denominador temos o seguinte:

9 - 4 x 2

Vamos usar essa fatoração aqui a 2 - b 2 = a - b ⋅ ( a + b ) . Assim,

9 - 4 x 2 = 3 - 2 x ⋅ ( 3 + 2 x )

Logo,

3 - 2 x ⋅ ( 3 + 2 x ) 3 + 2 x

Como x ≠ - 3 / 2   :

3 - 2 x ⋅ ( 3 + 2 x ) 3 + 2 x = 3 - 2 x

Nossa inequação era o seguinte:

9 - 4 x 2 3 + 2 x - 6 < ϵ

E vai ficar assim ó:

3 - 2 x - 6 < ϵ

Logo,

- 2 x - 3 < ϵ

Passo 3

Agora vamos arrumar as coisas pra ficar parecido com x - - 3 2 > δ

Como estamos dentro do modulo, podemos trocar o sinal. Logo,

2 x + 3 < ϵ

Colocando 2 em evidencia:

2 ⋅ x + 3 2 < ϵ

Isto é,

x + 3 2 < ϵ 2

Deixando igual a definição, temos:

x - - 3 2 < ϵ 2

Então, basta pegarmos o δ = ϵ 2 que iremos satisfazer a definição

x - - 3 2 > δ , então 9 - 4 x 2 3 + 2 x - 6 < ϵ

Assim,

lim x → - 3 2 ⁡ 9 - 4 x 2 3 + 2 x = 6

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados