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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.4 - Ex. 22

22. underset(x -> - (3)/(2))(lim) (9 - 4 x^2)/(3 + 2 x) = 6

Passo 1

Pra fazermos essa, temos que lembrarmos da definição de limite, olha só:

underset(x -> a)(lim) f (x) = L

Se para todo número ϵ > 0 houver um número delta > 0 tal que:

Se 0 < |x - a| < delta então |f (x) - L| < ϵ

Passo 2

Dado um ϵ > 0 , precisamos de um número delta > 0 que dependa de ϵ tal que:

|x - (- (3)/(2))| > delta , então |(9 - 4 x^2)/(3 + 2 x) - 6| < ϵ

Vamos olhar para o seguinte:

|(9 - 4 x^2)/(3 + 2 x) - 6| < ϵ

Primeiro vamos começar fatorando essa fração. No denominador temos o seguinte:

9 - 4 x^2

Vamos usar essa fatoração aqui a^2 - b^2 = (a - b) * ( a + b ) . Assim,

9 - 4 x^2 = (3 - 2 x) * ( 3 + 2 x )

Logo,

((3 - 2 x) * ( 3 + 2 x ))/(3 + 2 x)

Como x != - 3 // 2 :

((3 - 2 x) * ( 3 + 2 x ))/(3 + 2 x) = 3 - 2 x

Nossa inequação era o seguinte:

|(9 - 4 x^2)/(3 + 2 x) - 6| < ϵ

E vai ficar assim ó:

|3 - 2 x - 6| < ϵ

Logo,

|- 2 x - 3| < ϵ

Passo 3

Agora vamos arrumar as coisas pra ficar parecido com |x - (- (3)/(2))| > delta

Como estamos dentro do modulo, podemos trocar o sinal. Logo,

|2 x + 3| < ϵ

Colocando 2 em evidencia:

2 * |x + (3)/(2)| < ϵ

Isto é,

|x + (3)/(2)| < (ϵ)/(2)

Deixando igual a definição, temos:

|x - (- (3)/(2))| < (ϵ)/(2)

Então, basta pegarmos o delta = (ϵ)/(2) que iremos satisfazer a definição

|x - (- (3)/(2))| > delta , então |(9 - 4 x^2)/(3 + 2 x) - 6| < ϵ

Assim,

underset(x -> - (3)/(2))(lim) (9 - 4 x^2)/(3 + 2 x) = 6

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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